Olimpíadas

OBM - Os lados de um triângulo formam uma progressão aritmética de razão [tex3]t[/tex3] . Então a distância entre o incentro e o baricentro deste triângulo é:

a) [tex3]t[/tex3]
b) [tex3]t/2[/tex3]
c) [tex3]t/3[/tex3]
d) [tex3]2t/3[/tex3]
e) faltam dados

Mensagem não lidapor **poti** » Sáb 24 Mai, 2014 22:24 · Mensagem não lida por **poti** » Sáb 24 Mai, 2014 22:24

Por ser uma questão aberta, acho melhor fazer um caso particular pra chegar na resposta. Tomei [tex3]t = 1[/tex3] para montar o triângulo a seguir, que satisfaz as desigualdades triangulares:

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Achemos as coordenadas [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] que satisfazem:

[tex3]\begin{cases}
\sqrt{(x-6)^2 + y^2} = 7 \\
\sqrt{x^2 + y^2} = 8
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
x^2 - 12x + y^2 = 13 \\
x^2 + y^2 = 64
\end{cases}[/tex3]

Subtraindo a primeira da segunda:

[tex3]12x = 51[/tex3]
[tex3]\boxed{x = \frac{17}{4}}[/tex3]

Jogando na segunda:

[tex3]\boxed{y = \frac{7\sqrt{15}}{4}}[/tex3]

[tex3]G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)[/tex3]

[tex3]G = \left(\frac{0 + 6 + \frac{17}{4}}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{7\sqrt{15}}{4}}{3}\right)[/tex3]

[tex3]\boxed{G = \left(\frac{41}{12}, \frac{7\sqrt{15}}{12}\right)}[/tex3]

[tex3]I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a + b + c}[/tex3]

[tex3]I = \frac{7 \cdot (0,0) + 8 \cdot (6,0) + 6 \cdot \left(\frac{17}{4},\frac{7\sqrt{15}}{4}\right)}{21}[/tex3]

[tex3]I = \frac{\left(48 + \frac{51}{2}, \frac{21\sqrt{15}}{2}\right)}{21}[/tex3]

[tex3]\boxed{I = \left(\frac{147}{42}, \frac{21\sqrt{15}}{42}\right)}[/tex3]

Passando [tex3]G[/tex3] para o mesmo divisor de [tex3]I[/tex3] :

[tex3]G = \left(\frac{41 \cdot 3,5}{12 \cdot 3,5}, \frac{7\sqrt{15} \cdot 3,5}{12 \cdot 3,5}\right)[/tex3]

[tex3]G = \left(\frac{143,5}{42}, \frac{24,5\sqrt{15}}{42}\right)[/tex3]

[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{147}{42} - \frac{143,5}{42}\right)^2 + \left(\frac{21\sqrt{15}}{42} - \frac{24,5\sqrt{15}}{42}\right)^2}[/tex3]

[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{3,5}{42}\right)^2 + \left(\frac{-3,5\sqrt{15}}{42}\right)^2}[/tex3]

[tex3]d(I,G) = \sqrt{\left(\frac{1}{12}\right)^2 + \left(\frac{-\sqrt{15}}{12}\right)^2}[/tex3]

[tex3]d(I,G) = \sqrt{\frac{1}{12^2} + \frac{15}{12^2}}[/tex3]

[tex3]d(I,G) = \sqrt{\frac{4^2}{12^2}}[/tex3]

[tex3]d(I,G) = \frac{1}{3} = \boxed{\boxed{\frac{t}{3}}}[/tex3]

Letra C

Achei que por coordenadas seria mais fácil...

Olá, há uma propriedade muito interessante a respeito dos lados dos triângulos e a posição de seu baricentro e incentro:

Lema: Se um dos lados de um triângulo ABC for a média arimética dos outros dois, então a linha que une o incentro e o baricentro deste triângulo é paralela ao lado que é a média aritmética dos outros.

Prova: Se BC = (AC+AB)/2 ao traçar-se pelo baricentro G do triângulo uma reta paralela ao lado BC
teremos que ela intersecta os lados AC e AB em F e E respectivamente.

os triângulos ABC e AEF são semelhantes devido aos seus ângulos serem iguais (compartilham o ângulo Â) e os outros ângulos são iguais pois EF é paralela ao lado BC e ambas cortam os lados AC e AB segundo os mesmo ângulos.

Ao traçar-se a mediana AD do triângulo ABC a partir do vértice A vemos que ela intersecta EF em G de onde conclui-se que AG é a mediana de AEF (então G é ponto médio de EF) por conta da semelhança dos triângulos ABC e AEF.

A razão de semelhança entre os triângulos é a mesma que a razão entre o tamanho de suas medianas que é

AG/AD = 2/3 (propriedade notável do baricentro)

Logo:

EF/BC = 2/3
EF = 2BC/3 = (AB+AC)/3

e:

AE/AB = 2/3
AE=2AB/3
EB = AB/3

analogamente:

FC = AC/3

Repare agora que ao tomarmos o ponto I , interior ao triângulo , sobre a reta EF tal que EI = AB/3 obtêm-se um triângulo isósceles IEB (EI = EB) logo a reta BI é a bissetriz do ângulo B(pois o ângulo EBI = IBC devido ao paralelismo das retas EF e BC).

Como EI = AB/3 então:

FI = EF - EI = (AB+AC)/3 - AB/3 = AC/3

Novamente temos um triângulo isósceles agora IFC(FI = FC) logo IC é bissetriz do ângulo C e então I é o incentro do triângulo ABC e está sobre a reta EC junto ao baricentro do mesmo triângulo c.q.d

A distância entre o incentro e o baricentro será:

GI = EG - EI = (AC+AB)/6 - AB/3 = (AC - AB)/6

No problema pedido claramente teremos um dos lados como sendo a média aritmética dos outros dois pois temos uma PA de três termos. Se supormos AC>AB e AC = AB + 2t

Logo GI = (AC - AB)/6 = 2t/6 = t/3

Tem um jeito mais rápido de ver isso se você usar o teorema do incentro.

Chame de [tex3]A[/tex3] o vértice oposto ao lado que é a média aritmética dos outros dois.

Seja [tex3]D[/tex3] o pé da bissetriz interna do vértice [tex3]A[/tex3] do triângulo [tex3]ABC[/tex3] no lado [tex3]BC[/tex3] .
[tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] .
[tex3]G[/tex3] e [tex3]I[/tex3] respectivamente o baricentro e incentro de [tex3]ABC[/tex3]

Então [tex3]\frac{AI}{ID} = \frac{b+c}{a} = \frac{2a}{a} = 2 = \frac{AG}{GM}[/tex3]
então [tex3]\Delta AIG \sim \Delta ADM[/tex3] por [tex3]LAL[/tex3]
portanto [tex3]IG \parallel DM = BC[/tex3]
logo [tex3]IG = \frac23 DM = \frac23 (BM-BD) = \frac23(\frac a2 - \frac{ca}{b+c}) = \frac23(\frac a2 -\frac c2) = \frac t3[/tex3]

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