Olimpíadas ⇒ Sistemas Não-Lineares Tópico resolvido

[vicente487]

Se o pai tivesse menos 8 anos de idade do que tem hoje e o filho mais 13 anos de idade do que tem, a diferença dos quadrados das idades dos dois mais o triplo da idade do filho há 7 anos atrás seria igual a 2528. Atualmente o produto das idades dos dois hoje mais o quadrado da idade do pai daqui a 12 anos será igual a 6904. Qual a idade de cada um hoje?

[Alexandre_SC]

Esse tópico exige conhecimento em duas áreas, sistemas algébricos e lingua portuguesa.

Note que a primeira frase está no modo subjuntivo, é uma hipótese: "Se o pai tivesse menos 8 anos de idade do que tem hoje ..."

• [tex3]p' = p-8[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]p' = p-8[/tex3]

"... e o filho mais 13 anos de idade do que tem"

• [tex3]f' = f+13[/tex3]

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  [tex3]f' = f+13[/tex3]

A diferença dos quadrados das idades dos dois [tex3]|(p'^2-f'^2)|[/tex3]

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[tex3]|(p'^2-f'^2)|[/tex3]

mais o triplo da idade do filho há [tex3]7[/tex3]

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[tex3]7[/tex3]

anos [tex3](3 \cdot [f'-7] = 3[f+13-7] = 3[f+6])[/tex3]

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[tex3](3 \cdot [f'-7] = 3[f+13-7] = 3[f+6])[/tex3]

seria [tex3]2 528.[/tex3]

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[tex3]2 528.[/tex3]

Daí temos a primeira equação:

• [tex3]|(p-8)^2-(f+13)^2|+ 3\cdot (f+6)= 2528[/tex3]

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  [tex3]|(p-8)^2-(f+13)^2|+ 3\cdot (f+6)= 2528[/tex3]

Atualmente o produto das idades dos dois [tex3](f\cdot p)[/tex3]

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[tex3](f\cdot p)[/tex3]

mais o quadrado da idade do pai daqui a [tex3]12[/tex3]

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[tex3]12[/tex3]

anos [tex3]([p+12]^2)[/tex3]

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[tex3]([p+12]^2)[/tex3]

é igual a [tex3]6 904:[/tex3]

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[tex3]6 904:[/tex3]

• [tex3]\left{f\cdot p + (p+12)^2 = 6904 \\ |(p-8)^2-(f+13)^2|+ 3\cdot (f+6)= 2528[/tex3]

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  [tex3]\left{f\cdot p + (p+12)^2 = 6904 \\ |(p-8)^2-(f+13)^2|+ 3\cdot (f+6)= 2528[/tex3]

Se [tex3]f' > p'[/tex3]

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[tex3]f' > p'[/tex3]

as soluções são (segundo o meu software auxiliar):

• [tex3]p=65[/tex3]

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  [tex3]p=65[/tex3]

  e [tex3]f=15[/tex3]

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  [tex3]f=15[/tex3]

  
  [tex3]p=-\frac{52\,\sqrt{16901}-4108}{41}[/tex3]

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  [tex3]p=-\frac{52\,\sqrt{16901}-4108}{41}[/tex3]

  e [tex3]f=-\frac{9200\,\sqrt{16901}-1062590}{41\,\sqrt{16901}-3239}[/tex3]

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  [tex3]f=-\frac{9200\,\sqrt{16901}-1062590}{41\,\sqrt{16901}-3239}[/tex3]

  
  [tex3]p=\frac{52\,\sqrt{16901}+4108}{41}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]p=\frac{52\,\sqrt{16901}+4108}{41}[/tex3]

  e [tex3]f=-\frac{9200\,\sqrt{16901}+1062590}{41\,\sqrt{16901}+3239}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]f=-\frac{9200\,\sqrt{16901}+1062590}{41\,\sqrt{16901}+3239}[/tex3]

Se [tex3]f' < p':[/tex3]

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[tex3]f' < p':[/tex3]

• [tex3]p\approx 52,37[/tex3]

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  [tex3]p\approx 52,37[/tex3]

  e [tex3]f\approx 52,73[/tex3]

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  [tex3]f\approx 52,73[/tex3]

  
  [tex3]p\approx -54,175[/tex3]

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  [tex3]p\approx -54,175[/tex3]

  e [tex3]f\approx-94, 61[/tex3]

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  [tex3]f\approx-94, 61[/tex3]

  
  [tex3]p\approx 460,24[/tex3]

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  [tex3]p\approx 460,24[/tex3]

  e [tex3]f\approx -469,55[/tex3]

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  [tex3]f\approx -469,55[/tex3]

É claro que a solução é [tex3]p=65[/tex3]

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[tex3]p=65[/tex3]

e [tex3]f = 15,[/tex3]

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[tex3]f = 15,[/tex3]

mas matematicamente todas as outras são possíveis.

[Karl Weierstrass]

Considere a tabela abaixo.

• [tex3]\begin{array}{cccccc}
  \,&\text{7 anos}& \text{hoje}& \text{12 anos}\\
  \text{pai}&x-7&x&x+12\\
  \text{filho}&y-7&y&y+12
  \end{array}[/tex3]

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  [tex3]\begin{array}{cccccc}
\,&\text{7 anos}& \text{hoje}& \text{12 anos}\\
\text{pai}&x-7&x&x+12\\
\text{filho}&y-7&y&y+12
\end{array}[/tex3]

Do enunciado segue que

• [tex3]\left\{\begin{array}{ll}
  (x-8)^2-(y+13)^2+3(y-7)=2528\\
  xy+(x+12)^2=6904
  \end{array}\right.[/tex3]

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  [tex3]\left\{\begin{array}{ll}
(x-8)^2-(y+13)^2+3(y-7)=2528\\
xy+(x+12)^2=6904
\end{array}\right.[/tex3]

O módulo que o Alexandre considerou só é necessário para o caso do filho ter sido gerado antes do pai completar [tex3]20[/tex3]

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[tex3]20[/tex3]

anos e [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

meses (aproximadamente, considerando uma gestação de [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

meses).

Supondo que o pai não cometeu nenhuma besteira, desprezei o módulo.