Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Marcos** » Dom 21 Abr, 2013 20:44 · Mensagem não lida por **Marcos** » Dom 21 Abr, 2013 20:44

Na figura abaixo, $ABC$ é um triângulo e $P$ um de seus pontos internos.Se $AB = 8$ , $BC = BP + PA$ , $\measuredangle BPA = 120^o$ e $\measuredangle PBC = 60^o$ , então $PC$ é igual a

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$a)$ $10$
$b)$ $9$
$c)$ $8$
$d)$ $7$
$e)$ $6$

Olá,Marcos.

: Olimpíada Cingapura.png (6.42 KiB) Exibido 2628 vezes

Aplicando o Teorema dos cossenos no triângulo $PAB$

$64=x^2+x^2-2.x.xcos 120^\circ \Rightarrow 64=3x^2 \Rightarrow x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

$BC=2x=\frac{16\sqrt{3}}{2}$

No triângulo $BPQ$ teremos:

$y=xsen60^\circ \Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{8\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y=4$

$BQ=xcos 60^\circ \Rightarrow BQ=\frac{1}{2}.\frac{8\sqrt{3}}{3} \Rightarrow BQ=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$QC=BC-BQ \Rightarrow QC=\frac{16\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3} \Rightarrow QC=4\sqrt{3}$

Aplicando Pitágoras no triângulo PQC encontraremos $PC=8$

Alternativa:c

: trinta.png (31.88 KiB) Exibido 2625 vezes

Outro modo - Aproveitando o desenho do Adriano.
Triângulo retângulo(30/60/90) ARP, temos AR=4 AP=8V3/3 e RP=4V3/3
BQ=RP=4V3/3 e QC=AP+PB=2.8V3/3=16V3/3
QC=BC-BQ=4V3
Aplicando Pitágoras no triângulo PCQ temos PC=8

Att Bb

Aproveitando o embalo mostro outra solução:

: Olimpíada Cingapura.png (9.57 KiB) Exibido 2623 vezes

Os triângulos $\Delta ABP$ e $\Delta CPT$ são iguais. Portanto, $\boxed{\overline{PC}=\overline{AB}=8}$ . Letra C

Abraço.

Mensagem não lidapor **Radius** » Seg 22 Abr, 2013 16:49 · Mensagem não lida por **Radius** » Seg 22 Abr, 2013 16:49

Pô gurizada, ninguém falou que o triângulo ABC é retângulo em B!!!

vocês estão viajando!

Mensagem não lidapor **Cássio** » Seg 22 Abr, 2013 23:52

Olá a todos.

Sejam $PA=x;\ \ BP=y;\ \ BC=BP+PA=x+y;\ \ PC=z$

Usando a lei dos cossenos no triângulo $ABP,$ temos:

$8^2=x^2+y^2-2xy\cos 120=x^2+y^2+xy$

Usando a lei dos cossenos no triângulo $APC,$ temos

$z^2=y^2+(x+y)^2-2y(x+y)\cos 60=x^2+2y^2+2xy-xy-y^2=x^2+y^2+xy=8^2$

Como $z$ deve ser positivo, então $z^2=8\ \Longrightarrow \ z=PC=8$

OrionXD

Olá, bem eu resolvi da seguinte maneira: Como BC= BP + PA digamos que PB seja "a" e que PA seja "b", logo BC é a+b.
Digamos que exista um ponto D no lado BC que divida em "a" e "b" e BD seja "a" e DC seja "b". Assim o triângulo BPD é equilátero
e o ângulo PDC é 120°logo o triângulo PDC é congruente ao triângulo BPA, logo PC é 8.

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