Olimpíadas ⇒ Progressão Aritmética Tópico resolvido

[rean]

Ache a soma de todas as frações positivas, irredutíveis, menores do que [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

e da forma [tex3]\frac{n}{2005},[/tex3]

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[tex3]\frac{n}{2005},[/tex3]

onde [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

é um inteiro.

Resposta:

---

800

[Rogério Moraes]

As frações devem ser positivas e menores que [tex3]1,[/tex3]

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[tex3]1,[/tex3]

logo:

• [tex3]0 < \frac{n}{2005} < 1[/tex3]

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  [tex3]0 < \frac{n}{2005} < 1[/tex3]

Multiplicando, membro a membro, por [tex3]2005,[/tex3]

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[tex3]2005,[/tex3]

tem-se:

• [tex3]0 < n < 2005[/tex3]

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  [tex3]0 < n < 2005[/tex3]

  [tex3](i)[/tex3]

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  [tex3](i)[/tex3]

A fração [tex3]\frac{n}{2005}[/tex3]

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[tex3]\frac{n}{2005}[/tex3]

é irredutível se, e somente se, [tex3]\text{mdc}(n, 2005) = 1.[/tex3]

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[tex3]\text{mdc}(n, 2005) = 1.[/tex3]

Decompondo [tex3]2005[/tex3]

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[tex3]2005[/tex3]

em fatores primos, encontra-se:

• [tex3]2005 = 5^1 401^1.[/tex3]

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  [tex3]2005 = 5^1 401^1.[/tex3]

A soma das frações irredutíveis [tex3](S)[/tex3]

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[tex3](S)[/tex3]

será dada pela soma de todas as frações possíveis [tex3](S_1),[/tex3]

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[tex3](S_1),[/tex3]

menos a soma das frações com numeradores múltiplos de [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

[tex3](S_5),[/tex3]

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[tex3](S_5),[/tex3]

menos a soma das frações com numeradores múltiplos de [tex3]401[/tex3]

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[tex3]401[/tex3]

[tex3](S_{401}).[/tex3]

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[tex3](S_{401}).[/tex3]

Todas os numeradores devem estar no intervalo de [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

até [tex3]2004,[/tex3]

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[tex3]2004,[/tex3]

pois [tex3]0 < n < 2005[/tex3]

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[tex3]0 < n < 2005[/tex3]

. Neste intervalo, não existem múltiplos comuns de [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

e [tex3]401.[/tex3]

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[tex3]401.[/tex3]

• [tex3]S = S_1 - S_5 - S_{401}[/tex3]

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  [tex3]S = S_1 - S_5 - S_{401}[/tex3]

  
  
  [tex3]S = (\frac{1}{2005} +
  \frac{2}{2005} + \ldots +
  \frac{2004}{2005}) -
  (\frac{5}{2005} +
  \frac{10}{2005} + \ldots +
  \frac{2000}{2005}) -
  (\frac{401}{2005} +
  \frac{802}{2005} +
  \frac{1203}{2005} +
  \frac{1604}{2005})[/tex3]

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  [tex3]S = (\frac{1}{2005} +
\frac{2}{2005} + \ldots +
\frac{2004}{2005}) -
(\frac{5}{2005} +
\frac{10}{2005} + \ldots +
\frac{2000}{2005}) -
(\frac{401}{2005} +
\frac{802}{2005} +
\frac{1203}{2005} +
\frac{1604}{2005})[/tex3]

• [tex3]S = \frac{1}{2005} (1 + 2 + \ldots + 2004) -
  \frac{5}{2005} (1 + 2 + \ldots + 400) -
  \frac{401}{2005} (1 + 2 + 3 + 4)[/tex3]

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  [tex3]S = \frac{1}{2005} (1 + 2 + \ldots + 2004) -
\frac{5}{2005} (1 + 2 + \ldots + 400) -
\frac{401}{2005} (1 + 2 + 3 + 4)[/tex3]

A soma dos [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

primeiros inteiros positivos é dada por [tex3]S_n = \frac{n (n + 1)}{2},[/tex3]

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[tex3]S_n = \frac{n (n + 1)}{2},[/tex3]

logo:

• [tex3]S = \frac{1}{2005} [\frac{2004 (2004 + 1)}{2}] -
  \frac{5}{2005} [\frac{400 (400 + 1)}{2}] -
  \frac{401}{2005} [\frac{4 (4 + 1)}{2}][/tex3]

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  [tex3]S = \frac{1}{2005} [\frac{2004 (2004 + 1)}{2}] -
\frac{5}{2005} [\frac{400 (400 + 1)}{2}] -
\frac{401}{2005} [\frac{4 (4 + 1)}{2}][/tex3]

  
  
  [tex3]S = 1002 - 200 - 2[/tex3]

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  [tex3]S = 1002 - 200 - 2[/tex3]

  
  
  [tex3]S = 800[/tex3]

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  [tex3]S = 800[/tex3]