- [tex3]\frac{n}{810}\,=\,0,d25d25d25\ldots[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (AIME - 1989) Dízima Periódica Tópico resolvido
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Fev 2008
14
14:09
(AIME - 1989) Dízima Periódica
Suponha que [tex3]n[/tex3]
é um inteiro positivo e [tex3]d[/tex3]
é um dígito na base 10. Calcule [tex3]n[/tex3]
se -
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20:50
Re: (AIME - 1989) Dízima Periódica
Pelo enunciado:
Lembrando que [tex3]S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{10^{-3}}{1 - 10^{-3}} = \frac{1}{999},[/tex3] obtém-se:
Logo: [tex3]n = 3 \[(27 d + 6) + \frac{d + 28}{37}\][/tex3] (ii)
Como [tex3]0 \le d \le 9 \Rightarrow 0 \le 37 k - 28 \le 9 \Rightarrow 28 \le 37 k \le 37 \Rightarrow \frac{28}{37} \le k \le 1[/tex3]
Como [tex3]k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1[/tex3] (iii)
Substituindo a equação (iii) na (i): [tex3]d = 37 \cdot 1 - 28 \Rightarrow d = 9[/tex3] (iv)
Substituindo a equação (iv) na (ii): [tex3]n = 3 \[(27 \cdot 9 + 6) + \frac{9 + 28}{37}\] \Rightarrow n = 3(243 + 6 + 1) \Rightarrow n = 750[/tex3]
Substituindo os valores na expressão original, verifica-se que: [tex3]\frac{750}{810} = 0,925925925\ldots[/tex3]
- [tex3]n \in \mathbb{Z}^{*}_{+}[/tex3]
[tex3]\frac{n}{810} = 0,d25d25d25\ldots[/tex3] e [tex3]d \in \{0, 1, 2, 3, \ldots, 9\}[/tex3]
- [tex3]\frac{n}{810} = 0,d25 + 0,000d25 + 0,000000d25 + \ldots[/tex3]
[tex3]\frac{n}{810} = d25(10^{-3} + 10^{-6} + 10^{-9} + \ldots)[/tex3]
Lembrando que [tex3]S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{10^{-3}}{1 - 10^{-3}} = \frac{1}{999},[/tex3] obtém-se:
- [tex3]\frac{n}{810} = d25\(\frac{1}{999}\) \Rightarrow 37 n = 30 (100 d + 25)\Rightarrow 37 n = 3 (1000 d + 250)[/tex3]
- [tex3]37 n = 3 [(37\cdot 27 + 1) d + (37 \cdot 6 + 28)] \Rightarrow 37 n = 3 [37 (27 d + 6) + (d + 28)][/tex3]
- [tex3]37[/tex3] é primo e [tex3]37[/tex3] divide [tex3]3 [37 (27 d + 6) + (d + 28)],[/tex3] logo: [tex3]37[/tex3] divide [tex3]3[/tex3] (falso) ou [tex3]37[/tex3] divide [tex3][37 (27 d + 6) + (d + 28)].[/tex3]
Logo: [tex3]n = 3 \[(27 d + 6) + \frac{d + 28}{37}\][/tex3] (ii)
Como [tex3]0 \le d \le 9 \Rightarrow 0 \le 37 k - 28 \le 9 \Rightarrow 28 \le 37 k \le 37 \Rightarrow \frac{28}{37} \le k \le 1[/tex3]
Como [tex3]k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1[/tex3] (iii)
Substituindo a equação (iii) na (i): [tex3]d = 37 \cdot 1 - 28 \Rightarrow d = 9[/tex3] (iv)
Substituindo a equação (iv) na (ii): [tex3]n = 3 \[(27 \cdot 9 + 6) + \frac{9 + 28}{37}\] \Rightarrow n = 3(243 + 6 + 1) \Rightarrow n = 750[/tex3]
Substituindo os valores na expressão original, verifica-se que: [tex3]\frac{750}{810} = 0,925925925\ldots[/tex3]
Rogério Moraes de Carvalho
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