OlimpíadasPotências e Divisibilidade

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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Potências e Divisibilidade

Mensagem não lida por rean »

Determinar três inteiros consecutivos tais que o primeiro seja divisível por um quadrado, o segundo por um cubo e o terceiro por uma quarta potência.



No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean

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leozitz
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Re: Potências e Divisibilidade

Mensagem não lida por leozitz »

o teorema chines dos restos garante a existencia de tal número
vamos usar uma ideia semelhante da demonstração do teorema para resolver esse caso especifico
o quadrado vai ser [tex3]5^2[/tex3] o cubo vai ser [tex3]3^3[/tex3] e a quarta potencia vai ser [tex3]2^4[/tex3] note que 2, 3 e 5 são primos entre si 2 a 2.
[tex3]n = 25k[/tex3]
[tex3]25k + 1\equiv 0 \pmod {3^3}[/tex3]
vamos encontrar o inverso de 25 mod 27
[tex3]27 = 25 + 2\\
25 =2\cdot 12 + 1[/tex3]
[tex3]1 = 25-2\cdot12 = 25 - (27-25)\cdot12\\
1 = 25\cdot13 -12\cdot27[/tex3]

ou seja [tex3]25\cdot13\equiv 1 \pmod {27}[/tex3]

[tex3]25k\equiv -1\pmod {27}\\
k\equiv-13 \equiv 14\pmod {27}[/tex3]
então k é da forma [tex3]27a + 14[/tex3]

agora finalmente, vamos encontrar
[tex3]25k+2\equiv 0\pmod {16}\\
9(11a+14) + 2 \equiv 0\pmod {16}[/tex3]
obs: aqui já reduzi alguns números mod 16
[tex3]99a + 14\cdot 9 + 2 \equiv 0 \pmod {16}\\
3a\equiv 0 \pmod {16}[/tex3]

ai agora basta tomar a = 16b
então [tex3]n = 25(27\cdot16b+14)[/tex3] funciona
claramente é divisivel por 5^2
[tex3]25\cdot14 + 1 = 13\cdot27[/tex3]
e finalmente [tex3]25\cdot14 + 2 = 16\cdot22[/tex3]




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