OlimpíadasSistema de Numeração Decimal Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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Sistema de Numeração Decimal

Mensagem não lida por rean »

Determinar o menor inteiro [tex3]n[/tex3] tal que [tex3]9n[/tex3] se escreve com os mesmos algarismos de [tex3]n,[/tex3] na ordem inversa.

Última edição: rean (Dom 30 Dez, 2007 09:10). Total de 1 vez.


No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean

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DiegoNunes
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Resolução

Mensagem não lida por DiegoNunes »

Olá Rean, vamos resolver o exercício.

Suponhamos primeiro que o número tenha dois algarismos. O número pode ser escrito da seguinte forma:
  • [tex3]\left.\begin{array}{l}
    n = 10A + B \\
    9n = 10B + A \\
    \end{array}\right\} \Rightarrow 90A + 9B = 10B + A \Rightarrow 89A = B[/tex3] .
Como [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] representam os algarismos, eles estão no intervalo de [tex3]1[/tex3] a [tex3]9.[/tex3] Observa-se que isso é impossível, pois [tex3]B = 89A.[/tex3] Logo o número pedido não tem [tex3]2[/tex3] algarismos.

Consideremos agora que o número pedido tenha [tex3]3[/tex3] algarismos:
  • [tex3]\left. \begin{array}{l}
    n = 100A + 10B + C \\
    9n = 100C + 10B + A \\
    \end{array} \right\} \Rightarrow 900A + 90B + 9C = 100C + 10B + A \Rightarrow 899A + 80B = 91C[/tex3]
O valor mínimo atingido pelo primeiro membro ocorre quando [tex3]A = 1 \text{ e } B = 0,[/tex3] pois [tex3]A[/tex3] deve ser diferente de zero, uma vez que é o primeiro algarismo de [tex3]n.[/tex3] Nesse caso, o primeiro membro vale [tex3]899:[/tex3]
  • [tex3]91C = 899 \Rightarrow C \approx 9,87[/tex3] .
Observe que o valor é superior a [tex3]9,[/tex3] e portanto não existe um [tex3]C[/tex3] que possa satisfazer.

Consideremos agora que o número tenha [tex3]4[/tex3] algarismos:
  • [tex3]\left. \begin{array}{l}
    n = 1000A + 100B + 10C + D \\
    9n = 1000D + 100C + 10B + A \\
    \end{array} \right\} \Rightarrow 9000A + 900B + 90C + 9D = 1000D + 100C + 10B + A \Rightarrow[/tex3]
  • [tex3]8999A + 890B = 10C + 991D[/tex3]
O valor mínimo no primeiro membro ocorre para [tex3]A = 1\text{ e } B = 0,[/tex3] e o valor mínimo para [tex3]D[/tex3] ocorre quando [tex3]C[/tex3] é maximo, ou seja, [tex3]C = 9.[/tex3]

Temos:
  • [tex3]8999 = 90 + 991D \Rightarrow 991D = 8909 \Rightarrow D \approx 8,99[/tex3] .
Logo existe apenas um valor que satisfaz [tex3]D[/tex3] nesse caso, que é superior a [tex3]8,99.[/tex3] Este valor é [tex3]9,[/tex3] e ocorre quando [tex3]A[/tex3] vale [tex3]1.[/tex3] Logo, para [tex3]4[/tex3] algarismos temos [tex3]D = 9[/tex3] e [tex3]A = 1,[/tex3] e temos:
  • [tex3]8999 \cdot 1 + 890B = 10C + 991 \cdot 9 \\
    8999 + 890B = 10C + 8919 \\
    10C = 890B + 80 \\
    C = 89B + 8 \\[/tex3]
Observe que o únido modo de [tex3]C[/tex3] estar no intervalo de [tex3]0[/tex3] a [tex3]9[/tex3] e ser inteiro ocorre para [tex3]B = 0[/tex3] . Se [tex3]B = 0,[/tex3] temos que [tex3]C = 8.[/tex3]

Logo, o menor número que o exercício pede é [tex3]ABCD= 1089.[/tex3]
  • [tex3]1089 \times 9 = 9801[/tex3]

Última edição: DiegoNunes (Qui 14 Fev, 2008 23:08). Total de 1 vez.



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