Olá Rean, vamos resolver o exercício.
Suponhamos primeiro que o número tenha dois algarismos. O número pode ser escrito da seguinte forma:
- [tex3]\left.\begin{array}{l}
n = 10A + B \\
9n = 10B + A \\
\end{array}\right\} \Rightarrow 90A + 9B = 10B + A \Rightarrow 89A = B[/tex3]
.
Como [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
representam os algarismos, eles estão no intervalo de [tex3]1[/tex3]
a [tex3]9.[/tex3]
Observa-se que isso é impossível, pois [tex3]B = 89A.[/tex3]
Logo o número pedido não tem [tex3]2[/tex3]
algarismos.
Consideremos agora que o número pedido tenha [tex3]3[/tex3]
algarismos:
- [tex3]\left. \begin{array}{l}
n = 100A + 10B + C \\
9n = 100C + 10B + A \\
\end{array} \right\} \Rightarrow 900A + 90B + 9C = 100C + 10B + A \Rightarrow 899A + 80B = 91C[/tex3]
O valor mínimo atingido pelo primeiro membro ocorre quando [tex3]A = 1 \text{ e } B = 0,[/tex3]
pois [tex3]A[/tex3]
deve ser diferente de zero, uma vez que é o primeiro algarismo de [tex3]n.[/tex3]
Nesse caso, o primeiro membro vale [tex3]899:[/tex3]
- [tex3]91C = 899 \Rightarrow C \approx 9,87[/tex3]
.
Observe que o valor é superior a [tex3]9,[/tex3]
e portanto não existe um [tex3]C[/tex3]
que possa satisfazer.
Consideremos agora que o número tenha [tex3]4[/tex3]
algarismos:
- [tex3]\left. \begin{array}{l}
n = 1000A + 100B + 10C + D \\
9n = 1000D + 100C + 10B + A \\
\end{array} \right\} \Rightarrow 9000A + 900B + 90C + 9D = 1000D + 100C + 10B + A \Rightarrow[/tex3]
- [tex3]8999A + 890B = 10C + 991D[/tex3]
O valor mínimo no primeiro membro ocorre para [tex3]A = 1\text{ e } B = 0,[/tex3]
e o valor mínimo para [tex3]D[/tex3]
ocorre quando [tex3]C[/tex3]
é maximo, ou seja, [tex3]C = 9.[/tex3]
Temos:
- [tex3]8999 = 90 + 991D \Rightarrow 991D = 8909 \Rightarrow D \approx 8,99[/tex3]
.
Logo existe apenas um valor que satisfaz [tex3]D[/tex3]
nesse caso, que é superior a [tex3]8,99.[/tex3]
Este valor é [tex3]9,[/tex3]
e ocorre quando [tex3]A[/tex3]
vale [tex3]1.[/tex3]
Logo, para [tex3]4[/tex3]
algarismos temos [tex3]D = 9[/tex3]
e [tex3]A = 1,[/tex3]
e temos:
- [tex3]8999 \cdot 1 + 890B = 10C + 991 \cdot 9 \\
8999 + 890B = 10C + 8919 \\
10C = 890B + 80 \\
C = 89B + 8 \\[/tex3]
Observe que o únido modo de [tex3]C[/tex3]
estar no intervalo de [tex3]0[/tex3]
a [tex3]9[/tex3]
e ser inteiro ocorre para [tex3]B = 0[/tex3]
. Se [tex3]B = 0,[/tex3]
temos que [tex3]C = 8.[/tex3]
Logo, o menor número que o exercício pede é [tex3]ABCD= 1089.[/tex3]
- [tex3]1089 \times 9 = 9801[/tex3]