OlimpíadasSistema de Numeração Decimal Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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Dez 2007 30 09:05

Sistema de Numeração Decimal

Mensagem não lida por rean »

Determinar um inteiro [tex3]n[/tex3] da forma [tex3]n=(ab)_{10},[/tex3] que é múltiplo de [tex3]3[/tex3] e tal que [tex3]n^2=(bxax)_{10}.[/tex3]

Última edição: rean (Dom 30 Dez, 2007 09:05). Total de 1 vez.


No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean

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AnthonyC
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Re: Sistema de Numeração Decimal

Mensagem não lida por AnthonyC »

Temos que [tex3](ab)_{10}=10a+b[/tex3] e [tex3](bxax)_{10}=1000b+100x+ 10a+x=1000b+101x+10a[/tex3]. Temos:
[tex3]n^2=1000b+101x+10a[/tex3]
[tex3](10a+b)^2=1000b+101x+10a[/tex3]
[tex3]100a^2+20ab+b^2=1000b+101x+10a[/tex3]
[tex3]100a^2+20ab+b^2\equiv 1000b+101x+10a(~\mod 10)[/tex3]
[tex3]b^2\equiv x(~\mod 10)~~~~(I)[/tex3]
Como [tex3](ab)_{10}[/tex3] é múltiplo de 3, então [tex3]a+b\equiv 0(~\mod 3)[/tex3] e seu quadrado também é múltiplo de 3, logo:
[tex3]1000b+101x+10a\equiv 0( ~\mod 3)[/tex3]
[tex3]999b+b+101x+9a+a\equiv 0( ~\mod 3)[/tex3]
[tex3]b+a+101x\equiv 0( ~\mod 3)[/tex3]
[tex3]b+a+101x\equiv 0( ~\mod 3)[/tex3]
[tex3]101x\equiv 0( ~\mod 3)[/tex3]
Como [tex3]3\not | 101[/tex3], então:
[tex3]x\equiv 0( ~\mod 3)[/tex3]
E como [tex3]x[/tex3] é um dígito, então [tex3]x\in \{3,6,9\}[/tex3]. Verifiquemos cada caso individualmente:
  • [tex3]x=3[/tex3]:

Utilizando [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]b^2\equiv 3(~\mod 10)[/tex3]
Como [tex3]b[/tex3] é um dígito, então [tex3]b\in\{1,2,3,...,9\}[/tex3] . Mas, podemos ver que nenhum deste possuí quadrado com resto 3 na divisão por 10. Logo, não temos soluções para [tex3]x=3[/tex3].

  • [tex3]x=6[/tex3]:

[tex3]b^2\equiv 6(~\mod 10)[/tex3]
Como [tex3]b\in\{1,2,3,...,9\}[/tex3] , verificamos que as únicas possibilidades são [tex3]b=4,6[/tex3]. Temos:
  1. [tex3]b=4[/tex3]:
    [tex3]100a^2+20ab+b^2=1000b+101x+10a[/tex3]
    [tex3]100a^2+80a+16=4606+10a[/tex3]
    [tex3]10a^2+8a+1=460+a[/tex3]
    [tex3]10a^2+7a-459=0[/tex3]
    [tex3]a={-7\pm\sqrt{49+40\cdot 459}\over 20}\notin \mathbb{N}[/tex3]
  2. [tex3]b=6[/tex3]:
    [tex3]100a^2+20ab+b^2=1000b+101x+10a[/tex3]
    [tex3]100a^2+120a+36=6606+10a[/tex3]
    [tex3]10a^2+12a+3=660+a[/tex3]
    [tex3]10a^2+11a-657=0[/tex3]
    [tex3]a={-11\pm\sqrt{121+40\cdot 657}\over 20}\notin \mathbb{N}[/tex3]
Portanto, não temos soluções para [tex3]x=6[/tex3].

  • [tex3]x=9[/tex3]:

[tex3]b^2\equiv 9(~\mod 10)[/tex3]
Como [tex3]b\in\{1,2,3,...,9\}[/tex3] , verificamos que as únicas possibilidades são [tex3]b=3,7[/tex3] . Temos:
  1. [tex3]b=3[/tex3]:
    [tex3]100a^2+20ab+b^2=1000b+101x+10a[/tex3]
    [tex3]100a^2+60a+9=3909+10a[/tex3]
    [tex3]10a^2+6a=390+a[/tex3]
    [tex3]10a^2+5a-390=0[/tex3]
    [tex3]a={-5\pm\sqrt{25+40\cdot 390}\over 20}={-5\pm125\over 20}=6\text{ ou }-{13\over2}[/tex3]
    Logo, [tex3]a=6[/tex3].
  2. [tex3]b=7[/tex3]:
    [tex3]100a^2+140a+49=7909+10a[/tex3]
    [tex3]10a^2+14a+4=790+a[/tex3]
    [tex3]10a^2+13a-786=0[/tex3]
    [tex3]a={-13\pm\sqrt{13^2+40\cdot 786}\over 20}\notin \mathbb{N}[/tex3]
Portanto, não temos soluções para [tex3]b=7[/tex3].

Assim, o único número que satisfaz as condições propostas é [tex3]n=63[/tex3].



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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