Olimpíadas ⇒ Sistemas Não-Lineares Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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Dez 2007 12 10:06

Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lidapor rean » Qua 12 Dez, 2007 10:06

Mensagem não lida por rean »

Resolva o sistema:
  • [tex3]\begin{cases}(x^2 + 1)(y^2+ 1) = 10\\

    (x + y)(xy -1) = 3\end{cases}[/tex3]
Última edição: rean (Qua 12 Dez, 2007 10:06). Total de 1 vez.


No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
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Rogério Moraes
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Fev 2008 07 23:38

Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lidapor Rogério Moraes » Qui 07 Fev, 2008 23:38

Mensagem não lida por Rogério Moraes »

Fazendo algumas transformações apropriadas, pode-se resolver o sistema encontrando-se as raízes de diversas equações quadráticas.

Uma vez que o domínio para a solução do sistema não foi fornecida, convenciona-se que deve-se usar o domínio dos reais. Porém, a solução será fornecida no domínio dos complexos. Deste modo, para obter a solução no domínio dos reais, basta excluir as duas soluções imaginárias.
  • [tex3]S = \{
    (-3,\,0),\,
    (-2,\,1),\,
    (0,\,-3),\,
    (1,\,-2),\,
    (1,\,2),\,
    (2,\,1),\,
    (\frac{1}{2}-\frac{sqrt{15}}{2}i,\,\frac{1}{2}+\frac{sqrt{15}}{2}i),\,
    (\frac{1}{2}+\frac{sqrt{15}}{2}i,\,\frac{1}{2}-\frac{sqrt{15}}{2}i)
    \}[/tex3]
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John
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Fev 2008 10 22:52

Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lidapor John » Dom 10 Fev, 2008 22:52

Mensagem não lida por John »

  • [tex3](x+y)(xy -1) = 3[/tex3]

    [tex3]x^{2}y -x + xy^{2} - y= 3[/tex3]

    [tex3](x^{2} - 1)y +(y^{2}-1)x = 3[/tex3]

    [tex3](y^2 - 1)x = 3 - (x^2 - 1)y[/tex3]

    [tex3](y^2 - 1)^2x^2 = [3 - (x^2 - 1)y]^{2}[/tex3]

    [tex3](y^2 - 1)^2x^2 = 9 - 6(x^2 - 1)y + (x^2 - 1)^2y^2 \text{ }(i)[/tex3]

Da equação [tex3](x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10,[/tex3] temos:
  • [tex3]x^2 = \frac{10}{y^2 + 1} - 1 = \frac{9 - y^2}{y^2 + 1}\text{ }(ii)[/tex3]
Substituindo [tex3](ii)[/tex3] em [tex3](i),[/tex3] temos:
  • [tex3](y^2 - 1)^2\left(\frac{9 - y^{2}}{y^2 + 1}\right)= 9 - 6\left(\frac{9 - y^2}{y^2 + 1}- 1\right)y + \left(\frac{9 - y^2}{y^2 +1}- 1\right)^2y^2[/tex3]

    [tex3](y^2 - 1)^2\left(\frac{9 - y^{2}}{y^2 + 1}\right)= 9 - 6\left(\frac{-2y^2 + 8}{y^2 + 1}\right)y + \left(\frac{-2y^2 + 8}{y^2 +1}\right)^2y^2[/tex3] [tex3](\times (y^2 + 1)^{2})[/tex3]

    [tex3](y^2 + 1)(y^2 - 1)^2(9 - y^{2})= 9(y^2 + 1)^{2} +12(y^2 + 1)(y^2 - 4)y +4(y^2 - 4)^2y^2[/tex3]

    [tex3]y(y^7 -6y^5 +12y^4 -15y^3 -36y^2 +92y - 48) = 0\text{ }(*)[/tex3]
Agora, utilizando o método para encontrar raizes racionais, temos que: [tex3]0, 1, 2, -2[/tex3] e [tex3]{-}3[/tex3] são raizes da equação [tex3](*).[/tex3]

Dividindo [tex3]y^7 -6y^5 +12y^4 -15y^3 -36y^2 +92y - 48[/tex3] por [tex3](y-1)(y-2)(y+2)(y+3) = y^4 +2y^3 -7y^2 -8y + 12,[/tex3] obtemos:
  • [tex3]y^7 -6y^5 +12y^4 -15y^3 -36y^2 +92y - 48 = (y-1)(y-2)(y+2)(y+3)(y^3 -2y^2 +5y - 4).[/tex3]
Note que [tex3]1[/tex3] é raiz do polinômio [tex3]P(y) = y^3 - 2y^2+5y -4[/tex3] . Assim, [tex3]y^3 - 2y^2+5y -4 = (y-1)(y^2 -y+ 4).[/tex3] Logo,
  • [tex3]y^7 -6y^5 +12y^4 -15y^3 -36y^2 +92y - 48 = (y-1)^{2}(y-2)(y+2)(y+3)(y^2 -y + 4).[/tex3]
As raízes de [tex3]y^2 -y + 4 = 0[/tex3] são [tex3]\frac{1 -i\sqrt{15}}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{1 + i\sqrt{15}}{2}.[/tex3]

Agora para cada [tex3]y[/tex3] encontrado, podemos achar o [tex3]x[/tex3] correspondente [tex3](ii)[/tex3] e obter a resposta postada acima pelo Rogério.

Até.
Última edição: John (Dom 10 Fev, 2008 22:52). Total de 1 vez.


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Rogério Moraes
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Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lidapor Rogério Moraes » Seg 11 Fev, 2008 02:00

Mensagem não lida por Rogério Moraes »

Olá John,

Observe que, num dado ponto do seu desenvolvimento da equação [tex3](x + y)(xy -1) = 3,[/tex3] você elevou ambos os membros ao quadrado. Isto para obter o termo [tex3]x^2[/tex3] que foi isolado na outra equação. Porém, este tipo de procedimento não é indicado, uma vez que pode acrescentar soluções inválidas ao sistema. Além disto, o desenvolvimento ficou extremamente trabalhoso na substituição.

A pesquisa das raízes racionais da equação [tex3]y^7 -6y^5 +12y^4 -15y^3 -36y^2 +92y - 48 = 0[/tex3] gera um conjunto de [tex3]20[/tex3] possibilidades, pois engloba todos os divisores negativos e positivos de [tex3]48:[/tex3] [tex3]D_-(48) = \{-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24, -48\}[/tex3] e [tex3]D_+(48) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}[/tex3] . Além disto, os coeficientes da equação são altos, produzindo cálculos com valores elevados para a conferência dos candidatos a raízes racionais que realmente são raízes.

Apenas como uma dica, eu resolvi de uma forma bem simples com uma transformação na equação [tex3](x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10[/tex3] . Esta transformação possibiltou que eu sempre trabalhasse com a resolução de equações quadráticas.

Eu darei mais um tempo para o pessoal pensar antes de colocar uma dica final para a resolução deste problema.
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Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lidapor Bruno Fraga » Seg 11 Fev, 2008 16:55

Mensagem não lida por Bruno Fraga »

Segue a minha sugestão sobre as transformações.

Desenvolva a primeira equação do sistema:
  • [tex3]x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1=10[/tex3]
Recordando o fato que [tex3]x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy,[/tex3] temos:
  • [tex3](xy)^{2}+(x+y)^{2}-2xy = 9[/tex3]
Agora, fazendo [tex3]x+y=k[/tex3] e [tex3]xy=w,[/tex3] o sistema fica:
  • [tex3]\begin{cases} w^{2}+k^{2}-2w=9\\ k(w-1) = 3 \end{cases}[/tex3]
Fazendo a distributiva na equação de baixo e multiplicando-a por [tex3]2,[/tex3] teremos:
  • [tex3]\begin{cases} w^{2}+k^{2}-2w=9\\2kw-2k = 6 \end{cases}[/tex3]
Somando as duas equações:
  • [tex3]w^{2}+2kw+k^{2}-2w-2k=15 \text{ }(i)[/tex3]
    [tex3]2kw-2k = 6 \text{ }(ii)[/tex3]
Agora fazendo [tex3]{-}2(ii) + (i),[/tex3] teremos:
  • [tex3]\begin{cases}w^{2}+2kw+k^{2}-2w-2k=15 \\ w^{2}-2kw+k^{2}-2w+2k=3 \end{cases}[/tex3]
Chegamos finalmente ao sistema:
  • [tex3]\begin{cases}(w+k)^{2}-2(w+k)=15 \\ (w-k)^{2}-2(w-k)=3 \end{cases}[/tex3]
De onde:
  • [tex3]w+k=5[/tex3] ou [tex3]w+k=-3\text{ }(*)[/tex3]
e
  • [tex3]w-k=3[/tex3] ou [tex3]w-k=-1\text{ }(**)[/tex3]
Daí saem os valores de [tex3]w[/tex3] e [tex3]k[/tex3] pela montagem de [tex3]4[/tex3] sistemas a partir de uma das equações de [tex3](*)[/tex3] e uma das equações de [tex3](**).[/tex3]

Bruno
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Rogério Moraes
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Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lidapor Rogério Moraes » Seg 11 Fev, 2008 23:34

Mensagem não lida por Rogério Moraes »

Olá Bruno,

A sua resolução é bem interessante e criativa. Seguem algumas sugestões para os participantes do fórum concluírem esta resolução proposta de um modo simples.

Uma maneira simples para encontrar os valores possíveis para [tex3]w[/tex3] e [tex3]k[/tex3] é chegar numa fórmula geral para a resolução do seguinte sistema:
  • [tex3]\begin{cases}w + k = s \text{ }(i) \\ w - k = d \text{ }(ii) \end{cases}[/tex3]
Adicionando, membro a membro, as duas equações, tem-se:
  • [tex3]2w = s + d \Rightarrow w = \frac{s + d}{2}\text{ }(iii)[/tex3]
Substituindo a [tex3](iii)[/tex3] na [tex3](i):[/tex3]
  • [tex3]w + k = s \Rightarrow k = s - w \Rightarrow k = s - \frac{s + d}{2} \Rightarrow k = \frac{s - d}{2}\text{ }(iv)[/tex3]
De acordo com a resolução proposta pelo Bruno, os seguintes pares de valores [tex3](s, d)[/tex3] foram encontrados:
  • [tex3]\{(5, 3), (5, -1), (-3, 3), (-3, -1)\}.[/tex3]
Substituindo os pares de valores [tex3](s, d)[/tex3] nas equações [tex3](iii)[/tex3] e [tex3](iv),[/tex3] encontram-se os seguintes valores para os pares [tex3](w, k):[/tex3]
[tex3]\{(4, 1), (2, 3), (0, -3), (-2, -1)\},[/tex3] respectivamente.

Na resolução do Bruno foi realizada a seguinte substituição:
  • [tex3]x + y = k\text{ }(v)[/tex3]
    [tex3]x w = w\text{ }(vi)[/tex3]
A solução deste tipo de sistema é dada pelas raízes de uma equação quadrática do tipo:
  • [tex3]x^2 - S x + P = 0 \Rightarrow x^2 - k x + w = 0.[/tex3]
Com exceção da equação que determina as soluções imaginárias, as outras podem ser resolvidas mentalmente partindo do produto e verificando a soma.

Finalmente, o conjunto solução do sistema, composto pelos pares ordenados [tex3](x, y),[/tex3] é dado por:
  • [tex3]S = \{
    (-3,\,0),\,
    (-2,\,1),\,
    (0,\,-3),\,
    (1,\,-2),\,
    (1,\,2),\,
    (2,\,1),\,
    (\frac{1}{2}-\frac{sqrt{15}}{2}i,\,\frac{1}{2}+\frac{sqrt{15}}{2}i),\,
    (\frac{1}{2}+\frac{sqrt{15}}{2}i,\,\frac{1}{2}-\frac{sqrt{15}}{2}i)
    \}[/tex3]
A minha resolução é apenas um pouco mais simples que a do Bruno. Pois, eu faço uma única substituição por variáveis auxiliares. Deste modo, eu eliminei o passo envolvido com a resolução dos quatro sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas que surgiu na resolução do Bruno.
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