Olimpíadas ⇒ Sistemas Lineares Tópico resolvido

[rean]

Resolver o sistema de equações:

• [tex3]\begin{cases}x_1+ 2x_2+ 3x_3 + 4x_4 + \cdots + nx_n = a_1\\
  nx_1+ x_2 + 2x_3 +3x_4 + \cdots +(n-1)x_n = a_2\\
  (n-1)x_1 + nx_2 + x_3 +2x_4 + \cdots +(n-2)x_n = a_3\\
  \text{ }\\
  \text{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots }\\
  \text{ }\\
  2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 + \cdots + 1x_n = a_n\end{cases}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\begin{cases}x_1+ 2x_2+ 3x_3 + 4x_4 + \cdots + nx_n = a_1\\
nx_1+ x_2 + 2x_3 +3x_4 + \cdots +(n-1)x_n = a_2\\
(n-1)x_1 + nx_2 + x_3 +2x_4 + \cdots +(n-2)x_n = a_3\\
\text{ }\\
\text{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots }\\
\text{ }\\
2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 + \cdots + 1x_n = a_n\end{cases}[/tex3]

[John]

Vamos enumerar as equações:

• [tex3]x_1 + 2x_2 + 3x_3+ \cdots + nx_n = a_1\text{ }(i)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]x_1 + 2x_2 + 3x_3+ \cdots + nx_n = a_1\text{ }(i)[/tex3]

  
  
  [tex3]nx_1 + x_2 + 2x_3+ \cdots + (n-1)x_n = a_2\text{ }(ii)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]nx_1 + x_2 + 2x_3+ \cdots + (n-1)x_n = a_2\text{ }(ii)[/tex3]

  
  
  [tex3](n-1)x_1 + nx_2 + x_3+ \cdots + (n-2)x_n = a_3\text{ }(iii)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](n-1)x_1 + nx_2 + x_3+ \cdots + (n-2)x_n = a_3\text{ }(iii)[/tex3]

  
  
  [tex3]\text{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\text{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots}[/tex3]

  
  
  [tex3]2x_1 + 3x_2 + 4x_3+ \cdots + x_n = a_n\text{ }(n)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]2x_1 + 3x_2 + 4x_3+ \cdots + x_n = a_n\text{ }(n)[/tex3]

Somando as [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

equações, obtemos

• [tex3](1 + 2 +\cdots + n)(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = a_1 +\cdots + a_n.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](1 + 2 +\cdots + n)(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = a_1 +\cdots + a_n.[/tex3]

  
  
  [tex3]x_1 + \cdots + x_n =\frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)}\text{ }(P)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]x_1 + \cdots + x_n =\frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)}\text{ }(P)[/tex3]

Determinar [tex3]x_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1[/tex3]

:

• [tex3](P) + (ii) - (i)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](P) + (ii) - (i)[/tex3]

  [tex3]\Longrightarrow nx_1 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_2 - a_1 \Longrightarrow x_1 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_2 - a_1}{n}.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\Longrightarrow nx_1 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_2 - a_1 \Longrightarrow x_1 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_2 - a_1}{n}.[/tex3]

Determinar [tex3]x_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_2[/tex3]

:

• [tex3](P) + (iii) - (ii)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](P) + (iii) - (ii)[/tex3]

  [tex3]\Longrightarrow nx_2 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_3 - a_2 \Longrightarrow x_2 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_3 - a_2}{n}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\Longrightarrow nx_2 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_3 - a_2 \Longrightarrow x_2 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_3 - a_2}{n}[/tex3]

  .

Determinar [tex3]x_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_3[/tex3]

:

• [tex3](P) + (iv) - (iii)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](P) + (iv) - (iii)[/tex3]

  [tex3]\Longrightarrow nx_3 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_4 - a_3 \Longrightarrow x_3 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_4 - a_3}{n}.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\Longrightarrow nx_3 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_4 - a_3 \Longrightarrow x_3 = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_4 - a_3}{n}.[/tex3]

[tex3]\text{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots}[/tex3]

Determinar [tex3]x_{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{n-1}[/tex3]

:

• [tex3](P) + (n) - (n-1)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](P) + (n) - (n-1)[/tex3]

  [tex3]\Longrightarrow nx_{n-1} = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_n - a_{n-1} \Longrightarrow x_{n-1} = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_n - a_{n-1}}{n}.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\Longrightarrow nx_{n-1} = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_n - a_{n-1} \Longrightarrow x_{n-1} = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_n - a_{n-1}}{n}.[/tex3]

Determinar [tex3]x_{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_{n}[/tex3]

:

• [tex3](P) + (i) - (n)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](P) + (i) - (n)[/tex3]

  [tex3]\Longrightarrow nx_{n} = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_1 - a_{n} \Longrightarrow x_{n} = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_1 - a_{n}}{n}.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\Longrightarrow nx_{n} = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n(1+n)} + a_1 - a_{n} \Longrightarrow x_{n} = \frac{2(a_1 + \cdots + a_n)}{n^2(1+n)} + \frac{a_1 - a_{n}}{n}.[/tex3]

Falow!