(IMO Training - 2004) Produtos e Radicais Duplos

Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero

)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Olimpíadas ⇒ (IMO Training - 2004) Produtos e Radicais Duplos Tópico resolvido

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Primeira mensagem não lida • 2 mensagens • Página 1 de 1

Autor do Tópico theblackmamba: Mensagens: 3723; Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43; Última visita: 20-11-19; Localização: São Paulo - SP; Agradeceu: 806 vezes; Agradeceram: 2268 vezes

Ago 2012 15 21:32

(IMO Training - 2004) Produtos e Radicais Duplos

Mensagem não lida por theblackmamba » 15 Ago 2012, 21:32

Sejam $a,b,c,d$ números reais distintos satisfazendo as equações:

$\begin{cases}a=\sqrt{45-\sqrt{21-a}}\\b=\sqrt{45-\sqrt{21-b}}\\c=\sqrt{45-\sqrt{21-c}}\\ d=\sqrt{45-\sqrt{21-d}}\end{cases}$

Prove que $abcd=2004$ .

Editado pela última vez por theblackmamba em 15 Ago 2012, 21:32, em um total de 1 vez.

"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

theblackmamba

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Set 2012 05 19:19

Re: (IMO Training - 2004) Produtos e Radicais Duplos

Mensagem não lida por theblackmamba » 05 Set 2012, 19:19

Sendo:

$x=\sqrt{45-\sqrt{21-x}}$
$x^2=45-\sqrt{21-x}$
$(x^2-45)^2=21-x$
$x^4-2\cdot x^2 \cdot 45+45^2=21-x$
$x^4-90x^2+x+2004=0$

Esta é uma equação de 4º grau com raízes $a,b,c,d$ .

Pelas Relações de Girard,
$\boxed{abcd=2004}$ . $\text{CQD.}$

Editado pela última vez por theblackmamba em 05 Set 2012, 19:19, em um total de 1 vez.

"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

theblackmamba

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Para cada inteiro positivo n , seja s(n) a soma dos quadrados dos algarismos de n . Por exemplo s(15)=1^2+5^2=26 . Determine todos os inteiros n\geq1 tal que s(n)=n .

Última mensagem

n = \overline{x_kx_{k-1}...x_1x_0}_{(10)} = 10^{k}x_k + 10^{k-1}x_{k-1} + ... + 10x_1 + x_0 \ge 10^k
s(n) = \sum_{i=0}^{k}x_i^2 \le \sum_{i=0}^{k}9^2 = 9^2(k+1)
10^k\le 9^2(k+1)
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Primeira Postagem

Simplifique até obter um número inteiro √ 4+2√2 × √ 2−√2 / ( √ 3+√5 − √ 3−√5 )^2
( raiz de (4+2raizde2) * raiz (2-raizde2) sobre ( raiz de (3+raizde5) - raiz de (3-raizde5)) ao quadrado
não consegui...

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Seja f: \mathbb R \to \mathbb R uma função que satisfaz

f(x+y) \leq \ yf(x) + f(f(x))

para todos os reais \ x \ \ e \ \ y . Prove que f(x) = 0 para todos os x \leq \ 0

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Olá RafaeldeLima,

Escrevendo y=t-x :

f(x+y) \leq \ yf(x) + f(f(x))
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\sqrt{\sum_{k=1}^n\,\lef}(a_k) \leq \sum_{k=1}^n\,\lef (\sqrt{k}.(\sqrt{a_k} - \sqrt{a_k+1}))

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