Olimpíadas

rean · Mensagem não lida por **rean** » 22 Nov 2007, 13:09

Dizemos que um número natural é composto quando pode ser escrito como produto de dois números naturais maiores que [tex3]1,[/tex3] assim por exemplo [tex3]91[/tex3] é composto podemos escrevê-lo [tex3]91=7\times 13[/tex3] .
Mostre que o número [tex3]2^{(2^{2004}+2)}+1[/tex3] é composto.

Mensagem não lidapor **triplebig** » 22 Nov 2007, 14:18 · Mensagem não lida por **triplebig** » 22 Nov 2007, 14:18

[tex3]2^{2004}[/tex3] Vai dar um número divisível por 4 que termina em 6. Adicionando 2, vai dar um número que termina em 8 que não é divisível por 4.

Ai 2 elevado a um número que é par mas não divisível por 4 termina em 4.

Esse numero somado com um vai resultar em um numero divisivel por 5.

Abraços

Mensagem não lidapor **John** » 22 Nov 2007, 14:39 · Mensagem não lida por **John** » 22 Nov 2007, 14:39

Note que [tex3]4 \equiv -1 (mod 5)[/tex3] , daí [tex3]4^{(2^{2003} +1)} \equiv -1 (mod 5)[/tex3] pois [tex3]2^{2003} + 1[/tex3] é ímpar. Como [tex3]4^{(2^{2003} +1)} = 2^{(2^{2004} + 2)}[/tex3] , obtemos:

[tex3]2^{(2^{2004} +2)} \equiv -1 (mod 5)[/tex3] .

Portanto, [tex3]2^{(2^{2004} +2)}+1[/tex3] é divisível por [tex3]5[/tex3] . Conclusão, [tex3]2^{(2^{2004} +2)}+1[/tex3] é um número composto.

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