Olimpíadas ⇒ (OBM - 2004) Progressão Aritmética e Números Teimosos Tópico resolvido

[rean]

Dizemos que um número natural é teimoso se ao ser elevado a qualquer expoente inteiro positivo, termina com o mesmo algarismo. Por exemplo, [tex3]10[/tex3]

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[tex3]10[/tex3]

é teimoso, pois, [tex3]10^2,\, 10^3,\,10^4,\,\cdots,[/tex3]

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[tex3]10^2,\, 10^3,\,10^4,\,\cdots,[/tex3]

são números que também terminam em zero. Quantos números naturais teimosos de três algarismos existem?

[brain_tnt]

Iaí Rean,

vamos ter que todos os números terminados
em 0,5 e 6 são teimosos.

[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

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[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

Terminados em zero:
[tex3](100,110,120,130..990)=[/tex3]

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[tex3](100,110,120,130..990)=[/tex3]

uma P.A. de n termos
[tex3]a_n=a_1+(n-1).r\\
990=100+(n-1).10\\
89=n-1\\
n=90\/\/termos\/\/terminados\/\/zero\\[/tex3]

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[tex3]a_n=a_1+(n-1).r\\
990=100+(n-1).10\\
89=n-1\\
n=90\/\/termos\/\/terminados\/\/zero\\[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

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[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

Terminados em 5
[tex3](105,115,125,135...995)=[/tex3]

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[tex3](105,115,125,135...995)=[/tex3]

P.A de n termos
[tex3]n=90\/\/termos\/\/terminados\/\/5[/tex3]

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[tex3]n=90\/\/termos\/\/terminados\/\/5[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

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[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

Terminados em 6
[tex3](106,116,126,...,996)=[/tex3]

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[tex3](106,116,126,...,996)=[/tex3]

P.A
[tex3]n=90\/\/termos\/\/terminados\/\/em\/\/6[/tex3]

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[tex3]n=90\/\/termos\/\/terminados\/\/em\/\/6[/tex3]

Logo:
Números naturais teimosos de tres algarismo existentes = [tex3]90.3=270[/tex3]

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[tex3]90.3=270[/tex3]

Resposta [tex3]\Longrightarrow 270[/tex3]

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[tex3]\Longrightarrow 270[/tex3]

[Bruno Fraga]

Faltou apenas acrescentar que os números terminados em 1 também são teimosos. Assim, há mais 90 números teimosos, totalizando 360.
Bruno Fraga

[brain_tnt]

Iaí Bruno Fraga
boa observação...
esqueci de contar com os terminados em 1.
q vacilo. ehhhe
abraço =D