Dizemos que um número de três algarismos é bom se todos os seus algarismos forem não nulos distintos entre si e com a soma igual a nove
Por exemplo [tex3]513[/tex3]
é um número bom por que [tex3]5+1+3=9.[/tex3]
A média aritmética de todos os números bons é:
[tex3]\text{a)}\,111 \hspace{40pt}\text{b)}\,222 \hspace{40pt}\text{c)}\,331 \hspace{40pt}\text{d)}\,666 \hspace{40pt}\text{e)}\,999[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Números Bons Tópico resolvido
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rean 
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21
10:22
Números Bons
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 14:02). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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Auto Excluído (ID:276)
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Dez 2007
04
14:18
Re: Números Bons
Achei um resultado diferente, mas caso haja um erro vocês podem detectá-lo. Não pode haver um número bom com [tex3]4[/tex3]
algarismos, pois eles devem ser diferentes e não nulos; ou seja, a soma mínima seria do número [tex3]1234[/tex3]
que é [tex3]10.[/tex3]
O último número que atende às restrições existentes é o [tex3]621.[/tex3]
Veja que para um número do tipo [tex3]8AB[/tex3]
haverá um nulo e para [tex3]7AB[/tex3]
haverá repetição e para [tex3]9AB[/tex3]
nem precisa comentar.
a soma deles é [tex3]6399[/tex3] que dividido por [tex3]27[/tex3] dá [tex3]237[/tex3]
Deve ter algum erro. Alguém pode ver?
- Do tipo [tex3]6AB \Rightarrow a + b = 3 \Rightarrow a \in\{1,2\} \Rightarrow b \in\{1,2\}[/tex3]
Do tipo [tex3]5AB\Rightarrow a + b = 4 \Rightarrow a \in\{1,3\} \Rightarrow b \in\{1,3\}[/tex3] (não pode haver repetição, logo não pode ser [tex3]a=2 \text{ e } b= 2).[/tex3]
Do tipo [tex3]4AB\Rightarrow a + b = 5 \Rightarrow a \in\{2,3 \}= 3 \Rightarrow b \in\{2,3\}[/tex3]
Do tipo [tex3]3AB\Rightarrow a + b = 6 \Rightarrow a \in \{1,2,4,5 \} \Rightarrow b \in\{1,2,4,5\}[/tex3]
Do tipo [tex3]2AB\Rightarrow a + b = 7 \Rightarrow a \in\{1,3,4,6\} \Rightarrow b \in\{1,3,4,6\}[/tex3]
Do tipo [tex3]1AB\Rightarrow a + b = 8 \Rightarrow a \in\{ 2,3,5,6\} \Rightarrow b \in{2,3,5,6\}[/tex3]
- Do 1º tipo, fazemos os números [tex3]621[/tex3]
e [tex3]612.[/tex3]
Do 2º tipo, os números [tex3]531[/tex3] e [tex3]513.[/tex3]
Do 3º tipo, os números [tex3]432[/tex3] e [tex3]423.[/tex3]
Do 4º tipo, [tex3]351, 315, 324 , 342.[/tex3]
Do 5º tipo, [tex3]261, 216, 234, 243.[/tex3]
Do 6º tipo, [tex3]162, 126,153, 135.[/tex3]
a soma deles é [tex3]6399[/tex3] que dividido por [tex3]27[/tex3] dá [tex3]237[/tex3]
Deve ter algum erro. Alguém pode ver?
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 14:03). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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triplebig 
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Dez 2007
04
17:02
Re: Números Bons
De [tex3]100-199,[/tex3]
precisa ter os digitos [tex3]1 , 2[/tex3]
e [tex3]6,[/tex3]
ou [tex3]3[/tex3]
e [tex3]5[/tex3]
: [tex3]126, 162, 135, 153[/tex3]
Pedro, seu erro:
- Somados: [tex3]576[/tex3]
- Soma: [tex3]954[/tex3]
- Soma:[tex3]1332[/tex3]
- Somados: [tex3]855[/tex3]
- Somados:[tex3]1044[/tex3]
- Somados: [tex3]1233[/tex3]
- [tex3]\frac{5994}{18}=333[/tex3]
Pedro, seu erro:
Dizemos que um número de três algarismos é bom
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 14:03). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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Auto Excluído (ID:276)
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Dez 2007
04
17:05
Re: Números Bons
Que erro bobo. Somente agora que pude enxergar que o problema pede apenas números com 3 algarismos.
Obrigado, triplebig
Obrigado, triplebig
Última edição: Auto Excluído (ID:276) (Ter 04 Dez, 2007 17:07). Total de 1 vez.
-
Bruno Fraga
- Mensagens: 67
- Registrado em: Dom 11 Nov, 2007 13:51
- Última visita: 16-04-08
Dez 2007
04
17:25
Re: Números Bons
Uma outra idéia:
Imagine um número com os algarismos [tex3]a, b, c[/tex3] que satisfaça esse problema, ou seja, [tex3]a + b + c = 9[/tex3] (Isso será usado adiante).
Com três algarismos, podemos formar [tex3]3! = 6[/tex3] números diferentes.
Imagine o número onde os algarismos aparecem na ordem [tex3](abc).[/tex3] Esse número pode ser decomposto como [tex3]100a + 10b + c.[/tex3]
Exemplo: o número [tex3]234[/tex3] pode ser escrito como [tex3]100\cdot 2 + 10\cdot 3 + 4[/tex3]
Os demais números formados com os três algarismos em outras ordens, seriam escritos como:
Isso prova que qualquer trio de algarismos (mesmo que não sejam distintos) que satisfaçam a condição de somados resultarem em [tex3]9,[/tex3] formarão números cuja média é [tex3]333.[/tex3]
Bruno Fraga
Imagine um número com os algarismos [tex3]a, b, c[/tex3] que satisfaça esse problema, ou seja, [tex3]a + b + c = 9[/tex3] (Isso será usado adiante).
Com três algarismos, podemos formar [tex3]3! = 6[/tex3] números diferentes.
Imagine o número onde os algarismos aparecem na ordem [tex3](abc).[/tex3] Esse número pode ser decomposto como [tex3]100a + 10b + c.[/tex3]
Exemplo: o número [tex3]234[/tex3] pode ser escrito como [tex3]100\cdot 2 + 10\cdot 3 + 4[/tex3]
Os demais números formados com os três algarismos em outras ordens, seriam escritos como:
- [tex3](acb) = 100a + 10c + b[/tex3]
[tex3]\cdots[/tex3]
[tex3](cba) = 100c + 10b + a[/tex3]
- [tex3](100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) + \cdots + (100c + 10b + a) =[/tex3]
[tex3]200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c) = 200\cdot 9+20\cdot 9+2\cdot 9 =[/tex3]
[tex3]1998.[/tex3]
Isso prova que qualquer trio de algarismos (mesmo que não sejam distintos) que satisfaçam a condição de somados resultarem em [tex3]9,[/tex3] formarão números cuja média é [tex3]333.[/tex3]
Bruno Fraga
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 14:03). Total de 2 vezes.
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