Olimpíadas

rean · Mensagem não lida por **rean** » Qua 21 Nov, 2007 10:05

Dizemos que um número é observador de primos se é composto mas não é divisível por [tex3]2,\text{ } 3[/tex3] ou [tex3]5.[/tex3] Por exemplo, [tex3]49,\text{ } 77[/tex3] e [tex3]91[/tex3] são observadores de primos. Sabendo que existem [tex3]168[/tex3] números primos menores do que [tex3]1000[/tex3] a quantidade de observadores de primos menores do que [tex3]1000[/tex3] é igual a

a) [tex3]100[/tex3]
b) [tex3]102[/tex3]
c) [tex3]104[/tex3]
d) [tex3]106[/tex3]
e) [tex3]108[/tex3]

Dividi os [tex3]999[/tex3] números em [tex3]333[/tex3] trios. Já que para cada [tex3]3[/tex3] números, um é multiplo de [tex3]2[/tex3] e outro de [tex3]3,[/tex3] podemos excluir [tex3]666[/tex3] números, restando [tex3]333[/tex3] números de [tex3]1[/tex3] a [tex3]999.[/tex3] Agora, tirando [tex3]168[/tex3] números, os primos, restam [tex3]165[/tex3] números, que são os múltiplos de [tex3]5[/tex3] não múltiplos de [tex3]2[/tex3] e/ou [tex3]3[/tex3] e os compostos. Porém excluímos os números [tex3]2[/tex3] e [tex3]3[/tex3] duas vezes, logo restam na verdade [tex3]167[/tex3] números.

Agora os múltiplos de [tex3]5[/tex3] citados acima. Dividi em duas PA's , uma com termo inicial [tex3]25[/tex3] e outra iniciando com [tex3]35.[/tex3] As duas com razão de [tex3]30.[/tex3]

O último termo válido da primeira é o [tex3]33^\circ,[/tex3] que é o [tex3]985.[/tex3] Logo, o da segunda também será o [tex3]33^\circ[/tex3] sendo ele o [tex3]995.[/tex3]

Assim restam [tex3]167 - 66 = 101.[/tex3] Como o [tex3]1[/tex3] não é considerado primo nem composto, também é excluido sobrando [tex3]100[/tex3] compostos.

Acho que é isso, não considerando os negativos e o zero. té

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