Olimpíadas ⇒ Divagações sobre a Relação de Euler Tópico resolvido

[Maco]

Pela identidade de Euler

• [tex3]e^{i\pi} + 1 = 0[/tex3]

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  [tex3]e^{i\pi} + 1 = 0[/tex3]

  
  [tex3]e^{i\pi} = -1[/tex3]

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  [tex3]e^{i\pi} = -1[/tex3]

Elevando ambos os lados ao quadrado

• [tex3]e^{2i\pi} = 1[/tex3]

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  [tex3]e^{2i\pi} = 1[/tex3]

Multiplicando ambos os lados por [tex3]10[/tex3]

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[tex3]10[/tex3]

• [tex3]10\cdot e^{2i\pi} = 10[/tex3]

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  [tex3]10\cdot e^{2i\pi} = 10[/tex3]

Aplicando logaritmos em ambos os lados

• [tex3]\log (10\cdot e^{2i\pi}) = \log 10[/tex3]

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  [tex3]\log (10\cdot e^{2i\pi}) = \log 10[/tex3]

Segundo [tex3]\log(ab) = \log a + \log b[/tex3]

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[tex3]\log(ab) = \log a + \log b[/tex3]

• [tex3]\log 10 + \log e^{2i\pi} = \log 10[/tex3]

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  [tex3]\log 10 + \log e^{2i\pi} = \log 10[/tex3]

Passando [tex3]\log 10[/tex3]

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[tex3]\log 10[/tex3]

pro outro lado

• [tex3]\log e^{2i\pi} = 0[/tex3]

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  [tex3]\log e^{2i\pi} = 0[/tex3]

Como [tex3]\log x^y = y\cdot \log x[/tex3]

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[tex3]\log x^y = y\cdot \log x[/tex3]

• [tex3]\log e^{2i\pi} = 0[/tex3]

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  [tex3]\log e^{2i\pi} = 0[/tex3]

  
  [tex3]2i\pi\cdot \log e = 0[/tex3]

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  [tex3]2i\pi\cdot \log e = 0[/tex3]

  
  [tex3]i = 0[/tex3]

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  [tex3]i = 0[/tex3]

Eu estava aqui no sofá quando isso veio à cabeça, aí eu pedi pra minha irmã tentar provar que [tex3]i = 0.[/tex3]

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[tex3]i = 0.[/tex3]

Ela não conseguiu. Aí eu mostrei isso, mas não sei se está certo. Está certo?

[triplebig]

Olá Maco,

Creio eu que a seguinte propriedade não é valida para numeros complexos:

Segundo [tex3]\log (ab) = \log a + \log b[/tex3]

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[tex3]\log (ab) = \log a + \log b[/tex3]

Não sei como explicar, mas tem que tomar cuidado com essas propriedades quando se lida com números complexos. Um exemplo de quando isso pode ocorrer:

• [tex3]\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}[/tex3]

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  [tex3]\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}[/tex3]

  
  
  [tex3]\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}[/tex3]

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  [tex3]\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}[/tex3]

  
  
  [tex3]\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}[/tex3]

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  [tex3]\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}[/tex3]

  
  
  [tex3]\frac{1}{i}=\frac{i}{1}[/tex3]

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  [tex3]\frac{1}{i}=\frac{i}{1}[/tex3]

  
  
  [tex3]1=-1?[/tex3]

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  [tex3]1=-1?[/tex3]

Como eu ainda não dei números complexos na escola, não sei muito sobre que operações não se pode fazer de acordo com sua definição. Desculpa não ser de muita ajuda.
Abraços.

[Maco]

Não tem muito a ver mas tudo bem.

Assim como [tex3]\sqrt{1} = 1,[/tex3]

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[tex3]\sqrt{1} = 1,[/tex3]

[tex3]\sqrt{i} = -1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{i} = -1[/tex3]

porque [tex3]{-}2^2 = 1.[/tex3]

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[tex3]{-}2^2 = 1.[/tex3]

Então ali na sua conta, eu posso por como resultado de [tex3]\sqrt{1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{1}[/tex3]

o [tex3]1,[/tex3]

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[tex3]1,[/tex3]

e no [tex3]\sqrt{1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{1}[/tex3]

de baixo o [tex3]{-}1,[/tex3]

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[tex3]{-}1,[/tex3]

e ao se multiplicar em cruz ficará [tex3]{-}1 = -1.[/tex3]

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[tex3]{-}1 = -1.[/tex3]

Eu ainda não aprendi números complexos e sempre fiquei meio em dúvida quanto a isso que você falou, e na internet não achei nada muito esclarecedor.

[triplebig]

Isso que eu falei não tem muito a ver com sua questão mas mostra como certas prorpiedades, tipo a

[tex3]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}[/tex3]

Não é sempre válida para números complexos. Tem que levar em consideração isto que você falou.

[caju]

Olá Maco,

É definido que o símbolo da raiz quadrada se refere apenas à raiz positiva. Ou seja, se temos [tex3]\sqrt{1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{1}[/tex3]

estamos falando somente de [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

e não de [tex3]\pm 1[/tex3]

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[tex3]\pm 1[/tex3]

. Por isso é errado dizer que [tex3]\sqrt 1 = -1[/tex3]

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[tex3]\sqrt 1 = -1[/tex3]

.

Se você quiser se referir ao fato de [tex3](-1)^2=1[/tex3]

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[tex3](-1)^2=1[/tex3]

, deves escrever [tex3]x^2=1[/tex3]

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[tex3]x^2=1[/tex3]

que possui raízes [tex3]\pm\sqrt 1[/tex3]

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[tex3]\pm\sqrt 1[/tex3]

. (Note que o que você escreveu, sem parênteses, é errado também, pois [tex3]{-}1^2=-1\ne (-1)^2.[/tex3]

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[tex3]{-}1^2=-1\ne (-1)^2.[/tex3]

Na demonstração, vou apontar o que está errado.

Quando estamos na equação [tex3]e^{i\pi}=-1[/tex3]

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[tex3]e^{i\pi}=-1[/tex3]

e elevamos ao quadrado, estamos inserindo soluções estranhas para a equação. A solução final já está comprometida. Sempre que elevamos ao quadrado devemos verificar se a solução encontrada satisfaz a equação inicial

[Alexandre_SC]

Só para esclarecer, [tex3]\sqrt 1 = 1[/tex3]

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[tex3]\sqrt 1 = 1[/tex3]

e [tex3]\sqrt 1 \neq -1,[/tex3]

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[tex3]\sqrt 1 \neq -1,[/tex3]

e quanto à  pergunta inicial:

• [tex3]\log (10 \cdot e^{2\pi i}) = \log 10[/tex3]

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  [tex3]\log (10 \cdot e^{2\pi i}) = \log 10[/tex3]

  
  
  [tex3]\log 10 + \log e^{2\pi i} = \log 10[/tex3]

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  [tex3]\log 10 + \log e^{2\pi i} = \log 10[/tex3]

  
  
  [tex3]\log e^{2\pi i} = 0[/tex3]

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  [tex3]\log e^{2\pi i} = 0[/tex3]

  
  
  [tex3]e^{2\pi i} = 1[/tex3]

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  [tex3]e^{2\pi i} = 1[/tex3]

Quanto àquela operação de passar o expoente do logaritmando multiplicando pelo logaritmo, eu encontrei uma solução:

• [tex3]e^{a+bi} = e^a \cdot (\cos(b) + i \cdot \sin(b))[/tex3]

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  [tex3]e^{a+bi} = e^a \cdot (\cos(b) + i \cdot \sin(b))[/tex3]

então

• [tex3]\log e^{a+bi} = \log( e^a) \cdot \log (e^{bi}) = a\cdot \log( e)\cdot \log(e^{bi}) = a \cdot bi \cdot \log^2 e[/tex3]

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  [tex3]\log e^{a+bi} = \log( e^a) \cdot \log (e^{bi}) = a\cdot \log( e)\cdot \log(e^{bi}) = a \cdot bi \cdot \log^2 e[/tex3]

Então para a sua expressão:

[tex3]\log e^{2\pi i} = 0[/tex3]

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[tex3]\log e^{2\pi i} = 0[/tex3]

que é nada mais, nada menos que

• [tex3]\log e^{0 + 2 \pi i} = \log e^0\cdot \log e^{2\pi i} = 0 \cdot 2 \pi i \cdot \log(e)\cdot \log(e) = 0[/tex3]

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  [tex3]\log e^{0 + 2 \pi i} = \log e^0\cdot \log e^{2\pi i} = 0 \cdot 2 \pi i \cdot \log(e)\cdot \log(e) = 0[/tex3]

Talvez seja por isso que quando se trabalha com números complexos nunca se fala em logaritmos com base diferende de [tex3]e.[/tex3]

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[tex3]e.[/tex3]

[mawapa]

Olá Alexandre,

Só uma dúvida, pelas propriedades dos logaritimos essa parte:

[tex3]\log e^{a+bi} = \log( e^a) \cdot \log (e^{bi})...[/tex3]

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[tex3]\log e^{a+bi} = \log( e^a) \cdot \log (e^{bi})...[/tex3]

Não seria:

• [tex3]\log e^{a} + \log e^{bi}[/tex3]

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  [tex3]\log e^{a} + \log e^{bi}[/tex3]

Até mais!

[caju]

Olá pessoal,

Esta questão levantou muitas dúvidas. Vou começar reforçando o que o Alexandre_SC falou sobre uma propriedade levantada pelo Maco.

Maco disse : [tex3]\sqrt{1} = 1,[/tex3] [tex3]\sqrt{1} = -1[/tex3] pois [tex3]{-}1^2 = 1[/tex3]

O símbolo de raiz quadrada é definido como sendo a raiz positiva (e real quando tratarmos de raiz de números reais). Ou seja, quando falamos [tex3]\sqrt 1[/tex3] estamos tratando apenas a raiz positiva da equação [tex3]x^2=1.[/tex3] Se quisermos considerar ambas, devemos escrever [tex3]x^2=1[/tex3] e não [tex3]\sqrt 1.[/tex3]

Agora sobre a proposição levantada inicialmente, do logaritmo, vou partir do ponto problemático:

• [tex3]\log(e^{2i\pi}) = 0[/tex3]

Esta igualdade é verdadeira, mas não a utilizamos. Pois, para não caírmos em situações como esta, o logaritmo de um número complexo não real só é definido para argumentos entre [tex3](-\pi, \pi).[/tex3]
Na situação mostrada acima, o argumento é [tex3]2\pi,[/tex3] que também pode ser representado por [tex3]0[/tex3] (pois [tex3]0 \text{ rad} = 2\pi\text{ rad}.[/tex3] Daí sim podemos aplicar as regras de logaritmo sem problemas:

• [tex3]\log(e^{0i}) = 0[/tex3]
  
  [tex3]0i\cdot\log(e) = 0[/tex3]
  
  [tex3]0=0[/tex3]