Olimpíadas ⇒ Olimpíada Russa Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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victoria
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Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor victoria » Dom 22 Jan, 2012 19:27

Mensagem não lida por victoria »

Escrevem-se os inteiros de 1 até 222.222.Quantas vezes o algarismo zero é escrito?


Resposta
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108642
Última edição: victoria (Dom 22 Jan, 2012 19:27). Total de 1 vez.


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profjunior
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Abr 2013 19 14:57

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor profjunior » Sex 19 Abr, 2013 14:57

Mensagem não lida por profjunior »

Não é tão difícil, apenas trabalhoso.

Isto é uma questão de análise combinatória.

Comece pensando assim, quantos números menores que 222222, usam apenas um único algarismo zero em sua composição?

Com 6 dígitos (maiores que 99999 e menores que 222222):
(fixe o primeiro "1" ou o primeiro "2" e some os produtos) = 43364
Com 5 dígitos (maiores que 9999 mas menores que 99999):
4 * 9 * 9 * 9 * 9 = 26244
Com 4 dígitos (maiores que 999 mas menores que 9999):
3 * 9 * 9 * 9 = 2187
Com 3 dígitos (maiores que 99 mas menores que 999):
2 * 9 * 9 = 162
Com 2 dígitos (maiores que 9 mas menores que 99):
1 * 9 = 9
Some tudo, 43364 + 26244 + 2187 + 162 + 9 = 71966
Assim, existem 71966 números menores que 222222 e que usam exatamente um único zero.

Repita o mesmo processo para encontrar números com 2 algarismos zeros, 3 algarismos zeros, etc. até 5 algarismos zeros.
E some todas as combinações. Você deverá encontrar:

15608 números com exatamente 2 algarismos zeros, que resultam em mais 31216 zeros.

1694 números com exatamente 3 algarismos zeros, que resultam em mais 5082 zeros.

92 números com exatamente 4 algarismos zeros, que resultam em mais 368 zeros.

2 números com exatamente 5 algarismos zeros, que resultam em mais 10 zeros.

Somando todos os zeros:

71966 + 31216 + 5082 + 368 + 10 = 108642 zeros.

Abraços!
Última edição: profjunior (Sex 19 Abr, 2013 14:57). Total de 1 vez.


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adrianotavares
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Abr 2013 21 03:05

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor adrianotavares » Dom 21 Abr, 2013 03:05

Mensagem não lida por adrianotavares »

Olá,victoria.

Uma outra maneira de resolver seria a seguinte:

De [tex3]1[/tex3] até [tex3]10^n[/tex3] , qualquer algarismo significativo aparece [tex3]n\cdot 10^{n-1}[/tex3] vezes em todas as ordens, o zero começa aparecer [tex3]n\cdot 10^{n-1}[/tex3] vezes, nas 1ª,2ª,3ª...nª ordens,em todas as unidades ,dezenas centenas a partir do [tex3]10[/tex3] e assim, por diante.Dessa forma teremos:

[tex3]222222=2\cdot 10^5+2\cdot 10^4+2\cdot 10^3+2\cdot 10^2+2\cdot 10^1+2[/tex3]

[tex3]2\cdot 5\cdot 10^4=100000[/tex3] algarismos

[tex3]2\cdot 4\cdot 10^3=8000[/tex3] algarismos

[tex3]2\cdot 3\cdot 10^2=600[/tex3] algarismos

[tex3]2\cdot 2\cdot 10=40[/tex3] algarismos

[tex3]2\cdot 1\cdot 10^0=2[/tex3] algarismos

Somando teremos:

[tex3]100000+8000+600+40+2=108642[/tex3] algarismos
Última edição: caju (Dom 05 Nov, 2017 13:28). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> Tex3


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jangofeet
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Jun 2015 09 16:40

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor jangofeet » Ter 09 Jun, 2015 16:40

Mensagem não lida por jangofeet »

Olá Adriano.

Apreciei muito a solução, gostei tanto que pesquisei no google para saber se você se baseou em algum teorema, mas não encontrei nada...Enfim, você se baseou? Sabe me dizer onde posso encontrar?


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Lacerda142857
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Mai 2016 14 20:00

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor Lacerda142857 » Sáb 14 Mai, 2016 20:00

Mensagem não lida por Lacerda142857 »

Propriedade

De 1 até [tex3]10^{n}[/tex3] , exclusive, “o zero” aparece [tex3]10^{n-1}-1[/tex3] vezes na 1ª ordem, [tex3]10^{n-1}-10[/tex3] vezes na 2ª ordem,
[tex3]10^{n-1}-100[/tex3] vezes na 3ª ordem, ... , ou n × [tex3]10^{n-1}-(111...11)[/tex3] "n" 1's em todas as ordens.

Determinar o número de zeros na sucessã: 1, 2, 3, ... até N = abcd ... yz (n dígitos).

i) 1, 2, 3, 4, ... até N = ab.

ab = a × [tex3]10^{1}[/tex3] + b × [tex3]10^{0}[/tex3]
= a × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{0}-1[/tex3] ]
= “a” zero (s)
Total: a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + b

ii) 1, 2, 3, 4, ... até N = abc.

abc = a × [tex3]10^{2}[/tex3] + b × [tex3]10^{1}[/tex3] + c × [tex3]10^{0}[/tex3]

1º) = a × [tex3]10^{2}[/tex3]
= a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] - 1 = a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] - 9 = q’’
= a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] = q’’ + 9 zeros

2º) b × [tex3]10^{1}[/tex3] = b × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{1}-1[/tex3] ]
= “b” zero (s)

Total: a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + b

iii) 1, 2, 3, 4, ... , abcd

abcd = a × [tex3]10^{3}[/tex3] + b × [tex3]10^{2}[/tex3] + c × [tex3]10^{1}[/tex3] + d

1º) a × [tex3]10^{3}[/tex3] = a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] – [2 × [tex3]10^{2}-11[/tex3] ]
= a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] – 189 = q’
= a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] = q’ + 189 zeros

2º) b × [tex3]10^{2}[/tex3] = b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] – [1 × [tex3]10^{1}-1[/tex3] ]
= b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] – 9 = q’’
= b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] = q’’ + 9 zeros

3º) c × [tex3]10^{1}[/tex3] = c × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{0}-1[/tex3] ]
= “c” zero (s)

Total: a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] + b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + c

Seguindo o mesmo raciocínio dos passos precedentes para N = abcd ... yz (n dígitos), chegaremos, sem óbices, à seguinte expressão:

N = a × [(n – 1) × [tex3]10^{n-2}[/tex3] ] + b × [(n – 2) × [tex3]10^{n-3}[/tex3] ] +... + x × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] + y × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] zeros

Escrevem-se os inteiros de 1 até 222.222. Quantas vezes o zero aparece? (Olimp. Russa)

Resolução:

Preliminarmente, pomos o número dado em sua forma polinômica.

222.222 = 2 × [tex3]10^{5}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{4}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{3}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{2}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{1}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{0}[/tex3]

Apliquemos agora a expressão supra, ou seja:

= 2 × [5 × [tex3]10^{4}[/tex3] ] + 2 × [4 × [tex3]10^{3}[/tex3] ] + 2 × [[tex3]10^{2}[/tex3] ] + 2 × [3 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + 2 × [3 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] = 108. 642 zeros

Um braço, José Carlos Admo Lacerda.
Última edição: caju (Dom 05 Nov, 2017 13:28). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> Tex3


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paulo testoni
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Set 2017 25 14:12

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor paulo testoni » Seg 25 Set, 2017 14:12

Mensagem não lida por paulo testoni »

Hola.

nas unidades vc escreve: [tex3]22222 [/tex3]
nas dezenas vc escreve: [tex3]10*2222 = 22220 [/tex3]
nas centenass vc escreve: [tex3]100*222 = 22200 [/tex3]
nas unidades de milhar vc escreve:[tex3]1000*22 = 22000[/tex3]
nas dezenas de milhar vc escreve: [tex3]10000*2 = 20000 [/tex3]

somando tudo, temos:

[tex3]22222 \\
22220 \\
22200 \\
22000 \\
20000 \\
........... \\
108.642[/tex3]


Paulo Testoni
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Lacerda142857
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Nov 2017 04 20:21

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor Lacerda142857 » Sáb 04 Nov, 2017 20:21

Mensagem não lida por Lacerda142857 »

Ok! Brilhante resolução.
Att.: Lacerda


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matheuscrj16
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Mai 2019 31 21:54

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor matheuscrj16 » Sex 31 Mai, 2019 21:54

Mensagem não lida por matheuscrj16 »

Lacerda142857 escreveu: ↑
Sáb 14 Mai, 2016 20:00
 Propriedade

De 1 até [tex3]10^{n}[/tex3] , exclusive, “o zero” aparece [tex3]10^{n-1}-1[/tex3] vezes na 1ª ordem, [tex3]10^{n-1}-10[/tex3] vezes na 2ª ordem,
[tex3]10^{n-1}-100[/tex3] vezes na 3ª ordem, ... , ou n × [tex3]10^{n-1}-(111...11)[/tex3] "n" 1's em todas as ordens.

Determinar o número de zeros na sucessã: 1, 2, 3, ... até N = abcd ... yz (n dígitos).

i) 1, 2, 3, 4, ... até N = ab.

ab = a × [tex3]10^{1}[/tex3] + b × [tex3]10^{0}[/tex3]
= a × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{0}-1[/tex3] ]
= “a” zero (s)
Total: a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + b

ii) 1, 2, 3, 4, ... até N = abc.

abc = a × [tex3]10^{2}[/tex3] + b × [tex3]10^{1}[/tex3] + c × [tex3]10^{0}[/tex3]

1º) = a × [tex3]10^{2}[/tex3]
= a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] - 1 = a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] - 9 = q’’
= a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] = q’’ + 9 zeros

2º) b × [tex3]10^{1}[/tex3] = b × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{1}-1[/tex3] ]
= “b” zero (s)

Total: a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + b

iii) 1, 2, 3, 4, ... , abcd

abcd = a × [tex3]10^{3}[/tex3] + b × [tex3]10^{2}[/tex3] + c × [tex3]10^{1}[/tex3] + d

1º) a × [tex3]10^{3}[/tex3] = a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] – [2 × [tex3]10^{2}-11[/tex3] ]
= a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] – 189 = q’
= a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] = q’ + 189 zeros

2º) b × [tex3]10^{2}[/tex3] = b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] – [1 × [tex3]10^{1}-1[/tex3] ]
= b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] – 9 = q’’
= b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] = q’’ + 9 zeros

3º) c × [tex3]10^{1}[/tex3] = c × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{0}-1[/tex3] ]
= “c” zero (s)

Total: a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] + b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + c

Seguindo o mesmo raciocínio dos passos precedentes para N = abcd ... yz (n dígitos), chegaremos, sem óbices, à seguinte expressão:

N = a × [(n – 1) × [tex3]10^{n-2}[/tex3] ] + b × [(n – 2) × [tex3]10^{n-3}[/tex3] ] +... + x × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] + y × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] zeros

Escrevem-se os inteiros de 1 até 222.222. Quantas vezes o zero aparece? (Olimp. Russa)

Resolução:

Preliminarmente, pomos o número dado em sua forma polinômica.

222.222 = 2 × [tex3]10^{5}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{4}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{3}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{2}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{1}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{0}[/tex3]

Apliquemos agora a expressão supra, ou seja:

= 2 × [5 × [tex3]10^{4}[/tex3] ] + 2 × [4 × [tex3]10^{3}[/tex3] ] + 2 × [[tex3]10^{2}[/tex3] ] + 2 × [3 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + 2 × [3 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] = 108. 642 zeros

Um braço, José Carlos Admo Lacerda.
Eu resolvi essa questão de outra forma, mas gostaria de entender essa metodologia. A formatação não está me ajudando muito :/
O ponto o qual consegui chegar sozinho, criando uma expressão, foi:

1~[tex3]10^{2}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] 9 . 1
1~[tex3]10^{3}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] 9 . 21 = 9 . (2.[tex3]10^{1}[/tex3] + 1.[tex3]10^{0}[/tex3] )
1~[tex3]10^{4}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] 9 . 321 = 9.( 3.[tex3]10^{2}[/tex3] + 2.[tex3]10^{1}[/tex3] + 1.[tex3]10^{0}[/tex3] )
1~[tex3]10^{5}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] 9 . 4321 = 9.( 4.[tex3]10^{3}[/tex3] + 3.[tex3]10^{2}[/tex3] + 2.[tex3]10^{1}[/tex3] + 1.[tex3]10^{0}[/tex3] )

1~[tex3]10^{n}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] 9 . [(n-1).[tex3]10^{n-2}[/tex3] + (n-2).[tex3]10^{n-3}[/tex3] + ... + 3.[tex3]10^{2}[/tex3] + 2.[tex3]10^{1}[/tex3] + 1.[tex3]10^{0}[/tex3] )

Daqui em diante ainda não percebi como prosseguir para chegar aos coeficientes


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Lacerda142857
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Jun 2019 01 08:57

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor Lacerda142857 » Sáb 01 Jun, 2019 08:57

Mensagem não lida por Lacerda142857 »

Olá. Vc não entendeu minha resolução?
Qdo eu tiver um tempinho, estudarei a sua resolução.
Att.: Lacerda
[email protected]


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matheuscrj16
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Jun 2019 01 12:40

Re: Olimpíada Russa

Mensagem não lidapor matheuscrj16 » Sáb 01 Jun, 2019 12:40

Mensagem não lida por matheuscrj16 »

Isso, nessa parte, por exemplo :
"
1º) = [a × [tex3]10^{2}[/tex3] ]
= a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] - 1 = a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] - 9 = q’’
"

[tex3]\rightarrow [/tex3] Não consigo deduzir o raciocínio. Entendo que no intervalo - [1 ; [tex3]10^{2}[/tex3][ - existam 2.[tex3]10^{1}[/tex3]- 11 zero's, mas não consigo compreender porque o coeficiente A o está multiplicando, já que a quantidade de zeros entre - [1 ; [tex3]10^{2}[/tex3][ - não é a igual a quantidade de zero's no intervalo - [1.[tex3]10^{2}[/tex3] ; 2.[tex3]10^{2}[/tex3][.
Também não compreendi o -1 de um lado da igualdade e o -9 do outro, sem aparente mudança no a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ]

[tex3]\rightarrow [/tex3] O Sr. comentou que depois olharia a minha resolução, mas na verdade ela não estava exposta. Os cálculos que eu havia feito no meu primeiro comentário eram uma tentativa de acompanhar o seu raciocínio em criar uma expressão, o que achei bastante interessante, porém não o entendi em completude. A minha resolução que eu não havia mostrado no primeiro comentário, foi:

1ª
Contar quantos zero's há de [1 ; [tex3]10^{5}[/tex3][ , ou seja: 38889

2ª
Contar quantos zero's há de [[tex3]10^{5}[/tex3] ; 222222], o que , no meu raciocínio, é a mesma quantidade vezes que o zero aparece, incluindo os insignificativos, de 1 até (222222 - [tex3]10^{5}[/tex3] ), inclusos, excluindo-se os zeros de sexta ordem.
Ou seja:
Quantidade de zero's de 1 até 122222, inclusos; incluindo os insignificativos, exceto os de 6ª ordem:

1ª ordem : 12223
2ª ordem : 12230
3ª ordem : 12300
4ª ordem : 13000
5ª ordem : 20000

Total : 38889 + 12223 + 12230 + 12300 + 13000 + 20000 = 108642


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