Resposta
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Moderador: [ Moderadores TTB ]
Eu resolvi essa questão de outra forma, mas gostaria de entender essa metodologia. A formatação não está me ajudando muito :/Lacerda142857 escreveu: ↑Sáb 14 Mai, 2016 20:00Propriedade
De 1 até [tex3]10^{n}[/tex3] , exclusive, “o zero” aparece [tex3]10^{n-1}-1[/tex3] vezes na 1ª ordem, [tex3]10^{n-1}-10[/tex3] vezes na 2ª ordem,
[tex3]10^{n-1}-100[/tex3] vezes na 3ª ordem, ... , ou n × [tex3]10^{n-1}-(111...11)[/tex3] "n" 1's em todas as ordens.
Determinar o número de zeros na sucessã: 1, 2, 3, ... até N = abcd ... yz (n dígitos).
i) 1, 2, 3, 4, ... até N = ab.
ab = a × [tex3]10^{1}[/tex3] + b × [tex3]10^{0}[/tex3]
= a × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{0}-1[/tex3] ]
= “a” zero (s)
Total: a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + b
ii) 1, 2, 3, 4, ... até N = abc.
abc = a × [tex3]10^{2}[/tex3] + b × [tex3]10^{1}[/tex3] + c × [tex3]10^{0}[/tex3]
1º) = a × [tex3]10^{2}[/tex3]
= a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] - 1 = a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] - 9 = q’’
= a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] = q’’ + 9 zeros
2º) b × [tex3]10^{1}[/tex3] = b × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{1}-1[/tex3] ]
= “b” zero (s)
Total: a × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + b
iii) 1, 2, 3, 4, ... , abcd
abcd = a × [tex3]10^{3}[/tex3] + b × [tex3]10^{2}[/tex3] + c × [tex3]10^{1}[/tex3] + d
1º) a × [tex3]10^{3}[/tex3] = a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] – [2 × [tex3]10^{2}-11[/tex3] ]
= a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] – 189 = q’
= a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] = q’ + 189 zeros
2º) b × [tex3]10^{2}[/tex3] = b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] – [1 × [tex3]10^{1}-1[/tex3] ]
= b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] – 9 = q’’
= b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] = q’’ + 9 zeros
3º) c × [tex3]10^{1}[/tex3] = c × [1 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] – [0 × [tex3]10^{0}-1[/tex3] ]
= “c” zero (s)
Total: a × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] + b × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + c
Seguindo o mesmo raciocínio dos passos precedentes para N = abcd ... yz (n dígitos), chegaremos, sem óbices, à seguinte expressão:
N = a × [(n – 1) × [tex3]10^{n-2}[/tex3] ] + b × [(n – 2) × [tex3]10^{n-3}[/tex3] ] +... + x × [3 × [tex3]10^{2}[/tex3] ] + y × [2 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] zeros
Escrevem-se os inteiros de 1 até 222.222. Quantas vezes o zero aparece? (Olimp. Russa)
Resolução:
Preliminarmente, pomos o número dado em sua forma polinômica.
222.222 = 2 × [tex3]10^{5}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{4}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{3}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{2}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{1}[/tex3] + 2 × [tex3]10^{0}[/tex3]
Apliquemos agora a expressão supra, ou seja:
= 2 × [5 × [tex3]10^{4}[/tex3] ] + 2 × [4 × [tex3]10^{3}[/tex3] ] + 2 × [[tex3]10^{2}[/tex3] ] + 2 × [3 × [tex3]10^{1}[/tex3] ] + 2 × [3 × [tex3]10^{0}[/tex3] ] = 108. 642 zeros
Um braço, José Carlos Admo Lacerda.