Olimpíadas ⇒ Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[rean]

Na figura seguinte o triângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

é retângulo, com o ângulo reto no vértice [tex3]A,[/tex3]

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[tex3]A,[/tex3]

as retas [tex3]BD[/tex3]

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[tex3]BD[/tex3]

e [tex3]CE[/tex3]

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[tex3]CE[/tex3]

são bissetrizes dos ângulos [tex3]\widehat{B}[/tex3]

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[tex3]\widehat{B}[/tex3]

e [tex3]\widehat{C} ,[/tex3]

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[tex3]\widehat{C} ,[/tex3]

respectivamente. A normal baixada do ponto [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

ao lado [tex3]BC[/tex3]

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[tex3]BC[/tex3]

corta as duas bissetrizes em dois pontos. Determine a distância entre estes pontos, sabendo que [tex3]\overline{AE}=4\text{cm}[/tex3]

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[tex3]\overline{AE}=4\text{cm}[/tex3]

e [tex3]\overline{AD}=5\text{cm}.[/tex3]

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[tex3]\overline{AD}=5\text{cm}.[/tex3]

• 

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Fonte: Geometria Euclidiana Plana. João Lucas Barbosa. SBM.

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• AC61.png

[tex3]\triangle ABC:[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC:[/tex3]

• [tex3]C\widehat{B}A=2a[/tex3]

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  [tex3]C\widehat{B}A=2a[/tex3]

  
  [tex3]A\widehat{C}B=2b[/tex3]

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  [tex3]A\widehat{C}B=2b[/tex3]

  
  [tex3]2a+2b=90^\circ\Longrightarrow b=45^\circ -a[/tex3]

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  [tex3]2a+2b=90^\circ\Longrightarrow b=45^\circ -a[/tex3]

[tex3]\triangle BFI:[/tex3]

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[tex3]\triangle BFI:[/tex3]

• [tex3]F\widehat{I}B=c \Longrightarrow c=90^\circ -a[/tex3]

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  [tex3]F\widehat{I}B=c \Longrightarrow c=90^\circ -a[/tex3]

[tex3]\triangle ACE:[/tex3]

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[tex3]\triangle ACE:[/tex3]

• [tex3]C\widehat{E}A=d\Longrightarrow d=90^\circ - b=45^\circ +a[/tex3]

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  [tex3]C\widehat{E}A=d\Longrightarrow d=90^\circ - b=45^\circ +a[/tex3]

[tex3]\triangle AHE:[/tex3]

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[tex3]\triangle AHE:[/tex3]

• [tex3]H\widehat{E}A+H\widehat{A}E=d+2b=135^\circ -a\Longrightarrow A\widehat{H}E=45^\circ +a=d[/tex3]

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  [tex3]H\widehat{E}A+H\widehat{A}E=d+2b=135^\circ -a\Longrightarrow A\widehat{H}E=45^\circ +a=d[/tex3]

• [tex3]\therefore\text{ } \triangle AHE[/tex3]

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  [tex3]\therefore\text{ } \triangle AHE[/tex3]

  é isósceles.

Finalmente, como o [tex3]\triangle ADI[/tex3]

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[tex3]\triangle ADI[/tex3]

também é isósceles, segue que [tex3]\overline{IH}=\overline{AI}-\overline{AE}=5-4=1\text{m}.[/tex3]

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[tex3]\overline{IH}=\overline{AI}-\overline{AE}=5-4=1\text{m}.[/tex3]