Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números: Número de Dígitos Tópico resolvido

[rean]

Quantos dígitos são usados, no total, para escrever os números naturais de [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

a [tex3]100^{1000}[/tex3]

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[tex3]100^{1000}[/tex3]

?

[Karl Weierstrass]

Considere este Teorema.

Temos que [tex3]100^{1000}\,=\,10^{2000}[/tex3]

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[tex3]100^{1000}\,=\,10^{2000}[/tex3]

, logo [tex3]n\,=\,2001[/tex3]

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[tex3]n\,=\,2001[/tex3]

.

• [tex3]Q(10^{2000})\,=\,2001(10^{2000}\,+\,1)\,-\,\frac{10^{2001}\,-\,10}{9}\,-\,1[/tex3]

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  [tex3]Q(10^{2000})\,=\,2001(10^{2000}\,+\,1)\,-\,\frac{10^{2001}\,-\,10}{9}\,-\,1[/tex3]

Simplificando, encontramos

• [tex3]Q(10^{2000})\,=\,10^3(10^{2000}\,+\,1)\,-\,\underbrace{111...1}_{1999}0[/tex3]

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  [tex3]Q(10^{2000})\,=\,10^3(10^{2000}\,+\,1)\,-\,\underbrace{111...1}_{1999}0[/tex3]

  dígitos.

[Lacerda142857]

\[\text{De 1 at }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ 1}{{\text{0}}^{n}}\text{, exclusive}\text{, qualquer alg}\text{. significativo aparece n}\times \text{1}{{\text{0}}^{n-1}}\text{ em todas as ordens}\text{.}\]
$De\text{ 1 at }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ 10}{{\text{0}}^{\text{1000}}}=de\text{ 1 at }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ 1}{{\text{0}}^{\text{2000}}},\text{ }exclusive,\text{ + 1}{{\text{0}}^{\text{2000}}}\text{ d }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ gitos}\text{.}$
$Q=2000\times {{10}^{1999}}-{{10}^{2000}}\left( d\acute{i}g. \right)\therefore \left[ 2000\times {{10}^{1999}}-2001 \right]\text{ d }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ g}\text{.}$

[Lacerda142857]

Obs.: 100¹⁰⁰⁰ = 10²⁰⁰⁰
Q = [2000 × 10¹⁹⁹⁹ alg. – (10²⁰⁰⁰) alg.] ; Q = [2 × 10²⁰⁰² – 2001] alg.