Olimpíadas ⇒ Equação Fracionária

[rean]

Resolva a equação:

• [tex3]\frac{1}{x^2} + \frac{1}{( 4 - \sqrt{3} x )^2} = 1[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{1}{x^2} + \frac{1}{( 4 - \sqrt{3} x )^2} = 1[/tex3]

[marco_sx]

Olá rean

Tive uma idéia.

• [tex3]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}=1[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(4-\sqrt{3}x)^2}=1[/tex3]

  
  
  [tex3]\cos\theta=\frac{1}{x}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\cos\theta=\frac{1}{x}[/tex3]

  e [tex3]\text{sen}\theta=\frac{1}{4-\sqrt{3}x}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\text{sen}\theta=\frac{1}{4-\sqrt{3}x}[/tex3]

  
  
  [tex3]\text{sen}\theta = \Large\frac{1}{4-\frac{sqrt{3}}{\cos\theta}}\large \Rightarrow \sqrt{3}\cdot \text{sen}\theta + \cos\theta=4\text{sen}\theta\cdot \cos\theta[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\text{sen}\theta = \Large\frac{1}{4-\frac{sqrt{3}}{\cos\theta}}\large \Rightarrow \sqrt{3}\cdot \text{sen}\theta + \cos\theta=4\text{sen}\theta\cdot \cos\theta[/tex3]

  
  
  [tex3]\frac{sqrt{3}}{2}\cdot \text{sen}\theta+\frac{1}{2}\cdot \cos\theta = \text{sen}(2\theta) \Rightarrow \text{sen}\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) = \text{sen}(2\theta) \Rightarrow 2\cdot \text{sen}\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\theta}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{3\theta}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{sqrt{3}}{2}\cdot \text{sen}\theta+\frac{1}{2}\cdot \cos\theta = \text{sen}(2\theta) \Rightarrow \text{sen}\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) = \text{sen}(2\theta) \Rightarrow 2\cdot \text{sen}\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\theta}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{3\theta}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=0[/tex3]

1) [tex3]\frac{\pi}{12}-\frac{\theta}{2}=k\pi \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}-2k\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{12}-\frac{\theta}{2}=k\pi \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}-2k\pi[/tex3]

2) [tex3]\frac{3\theta}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\theta}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}[/tex3]

Para [tex3]0<\theta<2\pi:\text{ } \theta \in \left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{18},\frac{17\pi}{18},\frac{29\pi}{18}\right\}[/tex3]

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[tex3]0<\theta<2\pi:\text{ } \theta \in \left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{18},\frac{17\pi}{18},\frac{29\pi}{18}\right\}[/tex3]

• [tex3]x_1=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]x_1=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

  
  [tex3]x_2=\frac{1}{\cos\left(\frac{5\pi}{18}\right)}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]x_2=\frac{1}{\cos\left(\frac{5\pi}{18}\right)}[/tex3]

  
  [tex3]x_3=\frac{1}{\cos\left(\frac{17\pi}{18}\right)}=-\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]x_3=\frac{1}{\cos\left(\frac{17\pi}{18}\right)}=-\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)}[/tex3]

  
  [tex3]x_4=\frac{1}{\cos\left(\frac{29\pi}{18}\right)}=\frac{1}{\cos\left(\frac{7\pi}{18}\right)}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]x_4=\frac{1}{\cos\left(\frac{29\pi}{18}\right)}=\frac{1}{\cos\left(\frac{7\pi}{18}\right)}[/tex3]

• [tex3]S=\left\{\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{1}{\cos\frac{5\pi}{18}},-\frac{1}{\cos\frac{\pi}{18}},\frac{1}{\cos\frac{7\pi}{18}}\right\}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]S=\left\{\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{1}{\cos\frac{5\pi}{18}},-\frac{1}{\cos\frac{\pi}{18}},\frac{1}{\cos\frac{7\pi}{18}}\right\}[/tex3]

Bom, acho que é isso.