Olimpíadas ⇒ (Rússia - 1998) Números Interessantes Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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(Rússia - 1998) Números Interessantes

Mensagem não lidapor rean » Sex 28 Set, 2007 10:27

Mensagem não lida por rean »

Um número de [tex3]10[/tex3] algarismos é dito interessante se todos seus algarismos são distintos e ele é um múltiplo de [tex3]11111.[/tex3] Quantos números interessantes existem?
Resposta:
[tex3]3456[/tex3]
Última edição: rean (Sex 28 Set, 2007 10:27). Total de 1 vez.


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caju
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Out 2007 11 11:04

Re: (Rússia - 1998) Números Interessantes

Mensagem não lidapor caju » Qui 11 Out, 2007 11:04

Mensagem não lida por caju »

Olá rean,

Achei muito interessante essa questão.

Um número [tex3]N[/tex3] de 10 algarismos distintos será formado, certamente, pelos algarismos [tex3]0,1 , 2, 3, 4,5, 6, 7, 8 \text{ e } 9.[/tex3] Note que a soma destes algarismos é [tex3]45,[/tex3] ou seja, [tex3]N[/tex3] será um número múltiplo de [tex3]9[/tex3] (veja Regras de Divisibilidade).

Fatorando [tex3]11111 = 41\cdot 271,[/tex3] descobrimos que [tex3]11111[/tex3] e [tex3]9[/tex3] são primos entre si. Então podemos concluir que, se [tex3]N[/tex3] é múltiplo de [tex3]11111[/tex3] e também é múltiplo de [tex3]9,[/tex3] será múltiplo de [tex3]9\cdot 11111=99999.[/tex3]

Podemos, então, escrever [tex3]N[/tex3] como sendo:
  • [tex3]N = 99999\cdot k[/tex3]

    [tex3]N = (10^5-1)\cdot k[/tex3]
Onde [tex3]k[/tex3] é um número natural de [tex3]5[/tex3] algarismos (faça o teste com o menor número de [tex3]10[/tex3] algarismos distintos [tex3]1023456789[/tex3] e com o maior [tex3]9876543210,[/tex3] ambos darão [tex3]k[/tex3] de [tex3]5[/tex3] algarismos antes da vírgula).
Vamos então dizer que [tex3]k[/tex3] é a concatenação dos algarismos [tex3]a_4,a_3,a_2,a_1,a_0.[/tex3]
  • [tex3]k=a_4\cdot 10^4+a_3\cdot 10^3+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10^1+a_0\cdot 10^0[/tex3]
Substituindo este valor de [tex3]k[/tex3] no valor de [tex3]N:[/tex3]
  • [tex3]N = (10^5-1)\cdot (a_4\cdot 10^4+a_3\cdot 10^3+a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10^1+a_0\cdot 10^0)[/tex3]

    [tex3]N = a_4\cdot 10^9+a_3\cdot 10^8+a_2\cdot 10^7+a_1\cdot 10^6+a_0\cdot 10^5-a_4\cdot 10^4-a_3\cdot 10^3-a_2\cdot 10^2-a_1\cdot 10^1-a_0\cdot 10^0[/tex3]
Agora que dá o problema, com esta expressão, não conseguimos encontrar os algarismos de [tex3]N.[/tex3] Devemos encontrar uma soma somente com coeficientes positivos nas potências de base [tex3]10.[/tex3]
Para isso, vamos reescrever o [tex3]N[/tex3] acima, somando e diminuindo [tex3]10^5.[/tex3]
  • [tex3]N = a_4\cdot 10^9+a_3\cdot 10^8+a_2\cdot 10^7+a_1\cdot 10^6+a_0\cdot 10^5-a_4\cdot 10^4-a_3\cdot 10^3-a_2\cdot10^2-a_1\cdot 10^1-a_0\cdot 10^0-\\
    \text{ }-10^5+10^5[/tex3]
E o [tex3]+10^5[/tex3] vamos quebrar em uma soma.
  • [tex3]N = a_4\cdot 10^9+a_3\cdot 10^8+a_2\cdot 10^7+a_1\cdot 10^6+a_0\cdot 10^5-a_4\cdot 10^4-a_3\cdot 10^3-a_2\cdot 10^2-a_1\cdot 10^1-a_0\cdot 10^0-\\\text{ } -10^5+\underbrac{9\cdot 10^4+9\cdot 10^3+9\cdot 10^2+9\cdot 10^1+10}_{10^5}[/tex3]
E agora agrupar as potências de [tex3]10[/tex3] iguais:
  • [tex3]N = a_4\cdot 10^9+a_3\cdot 10^8+a_2\cdot 10^7+a_1\cdot 10^6+(a_0-1)\cdot 10^5+(9-a_4)\cdot 10^4+(9-a_3)\cdot 10^3+\\\text{ }+ (9-a_2)\cdot 10^2+(9-a_1)\cdot 10^1+10-a_0\cdot 10^0[/tex3]
Com esta representação de [tex3]N,[/tex3] podemos concluir que os algarismos de [tex3]N,[/tex3] em ordem, são:
  • [tex3]\text{alg}_{10}\rightarrow a_4[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_9\rightarrow a_3[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_8\rightarrow a_2[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_7\rightarrow a_1[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_6\rightarrow a_0-1[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_5\rightarrow 9-a_4[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_4\rightarrow 9-a_3[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_3\rightarrow 9-a_2[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_2\rightarrow 9-a_1[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_1\rightarrow 10-a_0[/tex3]
Veja que temos um a característica bem interessante nesses algarismos. São elas:
  • [tex3]\text{alg}_1+\text{alg}_6=9[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_2+\text{alg}_7=9[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_3+\text{alg}_8=9[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_4+\text{alg}_9=9[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_5+\text{alg}_{10}=9[/tex3]
As possibilidades para soma igual a nove são:
  • [tex3]0+9[/tex3]
    [tex3]1+8[/tex3]
    [tex3]2+7[/tex3]
    [tex3]3+6[/tex3]
    [tex3]4+5[/tex3]
Agora vamos ver a quantidade de possibilidade de todos os algarismos em cada posição:
  • [tex3]\text{alg}_{10}\rightarrow 9\text{ possibilidades (todos menos o zero)}[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_{9}\rightarrow 8\text{ possibilidades (todos menos o alg_1 e o alg que se relacionar com o alg_1)}[/tex3]

    [tex3]\text{alg_8\rightarrow 6 possibilidades (todos menos o alg_1, o alg que se relacionar com o alg_1,\\ o alg_2 e o alg que se relacionar com alg_2)}[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_{7}\rightarrow 4\text{ possibilidades}[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_{6}\rightarrow 2\text{ possibilidades}[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_{5}\rightarrow 1\text{ possibilidade, somente a que se relacionar com alg_{10}}[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_{4}\rightarrow 1\text{ possibilidade, somente a que se relacionar com alg_{9}}[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_{3}\rightarrow 1\text{ possibilidade, somente a que se relacionar com alg_{8}}[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_{2}\rightarrow 1\text{ possibilidade, somente a que se relacionar com alg_{7}}[/tex3]

    [tex3]\text{alg}_{1}\rightarrow 1\text{ possibilidade, somente a que se relacionar com alg_{6}}[/tex3]
Finalmente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
  • [tex3]9\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=3456[/tex3]
Última edição: caju (Qui 11 Out, 2007 11:04). Total de 1 vez.


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Alexandre_SC
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Out 2007 15 00:02

Re: (Rússia - 1998) Números Interessantes

Mensagem não lidapor Alexandre_SC » Seg 15 Out, 2007 00:02

Mensagem não lida por Alexandre_SC »

Isso é que é um problema!


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