Vou provar aqui um resultado e dois corolários que usarei depois:
- Número de divisores de [tex3]m[/tex3]
:
Demostração:
Seja [tex3]m[/tex3]
escrito através da sua fatoração em primos [tex3]m=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2} \cdot p_3^{k_3}\cdot\space ... \space \cdot p_n^{k_n}[/tex3]
, em que [tex3]p_1,p_2,p_3,...,p_n[/tex3]
são primos e [tex3]k_1,k_2,k_3,...,k_n\in \mathbb{N}[/tex3]
.
O número de divisores de [tex3]m[/tex3]
pode ser encontrado da seguinte forma: cada combinação dos primos divisores de [tex3]m[/tex3]
com expoentes menores ou iguais aos que eles possuem é um possível divisor de [tex3]m[/tex3]
. Sendo assim, para [tex3]p_1[/tex3]
eu tenho as seguintes possibilidades: [tex3]\{p_1^{1},p_1^{2},...,p_1^{k_1} \}[/tex3]
ou seja [tex3]k_1[/tex3]
possibilidades. Porém, ainda posso incluir o [tex3]p_1^0[/tex3]
, dado que isso resulta em 1, e 1 é divisor de todos os números. Assim, eu tenho [tex3]k_1+1[/tex3]
possibilidades. Analogamente para [tex3]p_2[/tex3]
temos [tex3]k_2+1[/tex3]
possibilidades, para [tex3]p_3[/tex3]
temos [tex3]k_3+1[/tex3]
possibilidades, assim por diante. Sendo assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o conjunto total de possibilidades é dado pelo produto das possibilidades para cada primo, assim:
[tex3]\text{ nº div}(m)=(k_1+1)(k_2+1)(k_3+1)...(k_n+1)[/tex3]- Corolário 1: se [tex3]m[/tex3]
tem apenas 2 divisores, [tex3]m[/tex3]
é primo;
Demonstração:
Sabemos que [tex3]\text{ nº div}(m)=(k_1+1)(k_2+1)(k_3+1)...(k_n+1)[/tex3]
. Queremos que esse número seja igual à 2. Como 2 é primo, ele não pode ser fatorado além disso, então para termos um produto de naturais iguais à 2, devemos ter um deles iguais à 2 e o resto igual à 1. Assim, sem perda de generalidade, podemos dizer que:
[tex3]k_1+1=2\implies k_1=1[/tex3]
[tex3]k_i+1=1\implies k_i=0,\space\space i\geq 2[/tex3]
Então, como [tex3]m=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2} \cdot p_3^{k_3}\cdot\space ... \space \cdot p_n^{k_n}[/tex3]
, temos:
[tex3]m=p_1^{1}\cdot p_2^{0} \cdot p_3^{0}\cdot\space ... \space \cdot p_n^{0}[/tex3]
[tex3]m=p_1[/tex3]
Como [tex3]p_1[/tex3]
é primo, então [tex3]m[/tex3]
é primo C.Q.D
[tex3]{}[/tex3]
- Corolário 2: se [tex3]m[/tex3]
tem apenas 3 divisores, então [tex3]m[/tex3]
é o quadrado de um primo;
Novamente, sabemos que [tex3]\text{ nº div}(m)=(k_1+1)(k_2+1)(k_3+1)...(k_n+1)[/tex3]
. Queremos que esse número seja igual à 3. Como 3 é primo, ele não pode ser fatorado além disso, então para termos um produto de naturais iguais à 3, devemos ter um deles iguais à 3 e o resto igual à 1. Assim, sem perda de generalidade, podemos dizer que:
[tex3]k_1+1=3\implies k_1=2[/tex3]
[tex3]k_i+1=1\implies k_i=0,\space\space i\geq 2[/tex3]
Então, como [tex3]m=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2} \cdot p_3^{k_3}\cdot\space ... \space \cdot p_n^{k_n}[/tex3]
, temos:
[tex3]m=p_1^{2}\cdot p_2^{0} \cdot p_3^{0}\cdot\space ... \space \cdot p_n^{0}[/tex3]
[tex3]m=p_1^2[/tex3]
Como [tex3]p_1[/tex3]
é primo, então [tex3]m[/tex3]
é o quadrado de um primo C.Q.D