Olimpíadas ⇒ Geometria Plana: Área Máxima e Área Mínima de um Triângulo Tópico resolvido

[rean]

Você recebe [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

metros de arame para cercar um terreno na forma de um triângulo pitagórico ( os lados são números inteiros), com a condição de que a medida do cateto menor seja [tex3]24[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]24[/tex3]

metros. Qual deverá ser a medida do cateto maior e o comprimento do arame, afim de que a área seja:

a) máxima
b) mínima

[Auto Excluído (ID:276)]

Cheguei numa solução, mas estou meio embolado com ela. Tem o gabarito?

b) mínima

Para que a área seja mínima, a medida do maior cateto deverá ser o inteiro mais próximo de [tex3]24.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]24.[/tex3]

Encontrei para medida do maior cateto [tex3]32\text{m}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]32\text{m}.[/tex3]

• [tex3]2p =24 + 32 + 40 = 96\text{m}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]2p =24 + 32 + 40 = 96\text{m}[/tex3]

a) máxima

• [tex3](40 + y)^2 = (32 + x)^2 + 24^2[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3](40 + y)^2 = (32 + x)^2 + 24^2[/tex3]

• [tex3]32^2 = 1024[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]32^2 = 1024[/tex3]

  
  [tex3]33^2 = 1024 + 65[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]33^2 = 1024 + 65[/tex3]

  
  [tex3]34^2 = 1024 + 65 + 67[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]34^2 = 1024 + 65 + 67[/tex3]

  
  
  [tex3]40^2 = 1600[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]40^2 = 1600[/tex3]

  
  [tex3]41^2 = 1600 + 81[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]41^2 = 1600 + 81[/tex3]

  
  [tex3]42^2 = 1600 + 81 + 83[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]42^2 = 1600 + 81 + 83[/tex3]

Analisando a tabela acima, vemos que no intervalo de [tex3]65[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]65[/tex3]

a [tex3]79[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]79[/tex3]

a soma é justamente [tex3]576 = 24^2 .[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]576 = 24^2 .[/tex3]

Ou seja, quando o crescimento do cateto parar, o da hipotenusa se estenderá até que a soma desse prolongamento seja [tex3]576.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]576.[/tex3]

Sendo assim é necessário que ambos cresçam para que a relação se mantenha.

Aí eu fiz [tex3]576[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]576[/tex3]

sendo soma de dois números ímpares consecutivos: [tex3]287[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]287[/tex3]

e [tex3]289.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]289.[/tex3]

A progressão da hipotenusa teria [tex3]105[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]105[/tex3]

somas [tex3]( 289 = 81 + 2n - 2\Rightarrow n = 105).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]( 289 = 81 + 2n - 2\Rightarrow n = 105).[/tex3]

Ou seja, a hipotenusa valeria [tex3]40 + 105 = 145.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]40 + 105 = 145.[/tex3]

Bem, se foi preciso dois números consecutivos após o término da progressão do cateto, concluímos que o cateto terminou sua progressão em [tex3]285.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]285.[/tex3]

Achamos o número [tex3]285 = 65 + 2n - 2\Rightarrow n = 111[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]285 = 65 + 2n - 2\Rightarrow n = 111[/tex3]

. O cateto valerá [tex3]111 + 32 = 143.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]111 + 32 = 143.[/tex3]

• [tex3]2p=143 + 145 + 24 = 312\text{m}.[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]2p=143 + 145 + 24 = 312\text{m}.[/tex3]

Desculpem-me pela possível enrolação, eu estou embolado.