Olimpíadas ⇒ Análise Combinatória: Princípio da Casa dos Pombos Tópico resolvido
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Set 2007
25
09:22
Análise Combinatória: Princípio da Casa dos Pombos
Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base [tex3]10,[/tex3]
apenas com os algarismos [tex3]0[/tex3]
e [tex3]1.[/tex3]
Última edição: italoemanuell (Ter 25 Set, 2007 09:22). Total de 2 vezes.
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12:17
Re: Análise Combinatória: Princípio da Casa dos Pombos
Olá italoemanuell,
Vou provar que um número [tex3]n[/tex3] tem um múltiplo que se escreve apenas com algarismos [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] na base [tex3]10[/tex3] .
Começamos pegando uma lista de [tex3]n+1[/tex3] números da seguinte forma:
Ou seja, como temos [tex3]n+1[/tex3] restos na listagem acima, pelo princípio da casa dos pombos, no mínimo dois restos serão iguais.
Digamos que, sem perda de generalidade, os restos iguais são o [tex3]p-[/tex3] ésimo e o [tex3]k-[/tex3] ésimo resto ([tex3]p\lt k[/tex3] ) da listagem acima:
Vou provar que um número [tex3]n[/tex3] tem um múltiplo que se escreve apenas com algarismos [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] na base [tex3]10[/tex3] .
Começamos pegando uma lista de [tex3]n+1[/tex3] números da seguinte forma:
- [tex3]\begin{array}{c}
1\\
11\\
111\\
1111\\
\ldots\\
\underbrace{11111\ldots 1}_{\text{ }n+1 \\\text{ algarismos}}\end{array}[/tex3]
- [tex3]1=Q_1\cdot n+r_1[/tex3]
[tex3]11=Q_2\cdot n+r_2[/tex3]
[tex3]111=Q_3\cdot n+r_3[/tex3]
[tex3]1111=Q_4\cdot n+r_4[/tex3]
[tex3]\ldots[/tex3]
[tex3]11111\ldots 1=Q_{n+1}\cdot n+r_{n+1}[/tex3]
Ou seja, como temos [tex3]n+1[/tex3] restos na listagem acima, pelo princípio da casa dos pombos, no mínimo dois restos serão iguais.
Digamos que, sem perda de generalidade, os restos iguais são o [tex3]p-[/tex3] ésimo e o [tex3]k-[/tex3] ésimo resto ([tex3]p\lt k[/tex3] ) da listagem acima:
- [tex3]\underbrace{1111\ldots1}_{\text{p algarismos}}=Q_p\cdot n+r_p[/tex3]
[tex3]\underbrace{111111\ldots1}_{\text{k algarismos}}=Q_k\cdot n+r_k[/tex3]
- [tex3]\underbrace{1111\ldots1}_{\text{k-p algarismos}}\overbrace{000\ldots0}^{\text{p algarismos}}=(Q_k-Q_p)\cdot n+\underbrace{r_k-r_p}_{\text{ zero, pois s\tilde{a}o iguais}}[/tex3]
Última edição: caju (Dom 14 Out, 2007 12:17). Total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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