Olimpíadas(IMO - 2005) Desigualdade Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Z-BosoN
Junior
Mensagens: 13
Registrado em: Qui 30 Ago, 2007 14:24
Última visita: 01-07-08
Contato:
Ago 2007 31 20:43

(IMO - 2005) Desigualdade

Mensagem não lida por Z-BosoN » Sex 31 Ago, 2007 20:43

Sejam x, y, z números reais positivos tais que xyz \geq 1.
Demonstre que \frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2}+ \frac{y^5 - y^2}{y^5 + x^2 + z^2} + \frac{z^5 - z^2}{z^5 + y^2 + x^2} \geq 0

Última edição: Z-BosoN (Sex 31 Ago, 2007 20:43). Total de 1 vez.


~Z-BosoN

Avatar do usuário
Karl Weierstrass
3 - Destaque
Mensagens: 716
Registrado em: Sex 29 Fev, 2008 02:06
Última visita: 18-01-17
Localização: Holos
Agradeceram: 29
Abr 2008 05 23:51

Mensagem não lida por Karl Weierstrass » Sáb 05 Abr, 2008 23:51

Banco de Provas de várias Olimpíadas, com soluções. (É possível baixar as provas em pdf).

Última edição: Karl Weierstrass (Sáb 05 Abr, 2008 23:51). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
triplebig
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1225
Registrado em: Ter 18 Set, 2007 23:11
Última visita: 22-11-18
Localização: São José dos Campos
Agradeceu: 2
Agradeceram: 57
Abr 2008 06 01:16

Mensagem não lida por triplebig » Dom 06 Abr, 2008 01:16

Obrigado Karl. Mas um favorzinho, você poderia explicar o que é esse simbolo de somatório e como que ele está sendo empregado? Eu li menções de teorema de Cauchy, você é familiar com isso?



Avatar do usuário
Karl Weierstrass
3 - Destaque
Mensagens: 716
Registrado em: Sex 29 Fev, 2008 02:06
Última visita: 18-01-17
Localização: Holos
Agradeceram: 29
Abr 2008 06 02:27

Mensagem não lida por Karl Weierstrass » Dom 06 Abr, 2008 02:27

Um exemplo elementar do somatório é a fórmula que dá o desenvolvimento do binômio de Newton.

\hspace{70}(a+b)^n=\displaystyle\sum_{p=0}^n{n\choose p}\,\cdot\,\,a^{n-p}\,\cdot\,b^p

O somatório é utilizado para simplificar a representação de somas com um número grande de parcelas. Considere uma soma com 100 parcelas:

\hspace{70}x_1+x_2+\ldots +x_{100}=\displaystyle\sum_{i=1}^{100}x_i

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Sejam a_1,\,a_2,\,\ldots,\, a_n e b_1,\,b_2,\,\ldots,\, b_n seqüências de números reais. Então

\hspace{70}\left(\sum a_ib_i\right)^2\leq \left(\sum a^2_i\right)\left(\sum b^2_i\right)

n=2 \Longrightarrow (a_1b_1\,+\,a_2b_2)^2\,\leq\, (a_1^2\,+\,a_2^2)(b_1^2\,+\,b_2^2), que após algumas manipulações se transforma na desigualdade das médias para duas variáveis.
Última edição: Karl Weierstrass (Dom 06 Abr, 2008 02:27). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
triplebig
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1225
Registrado em: Ter 18 Set, 2007 23:11
Última visita: 22-11-18
Localização: São José dos Campos
Agradeceu: 2
Agradeceram: 57
Fev 2009 25 03:28

Re: (IMO - 2005) Desigualdade

Mensagem não lida por triplebig » Qua 25 Fev, 2009 03:28

\frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2}+ \frac{y^5 - y^2}{y^5 + x^2 + z^2} + \frac{z^5 - z^2}{z^5 + y^2 + x^2} \geq 0\\
\vspace{10}\\

\(1-\frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2}\)+\(1- \frac{y^5 - y^2}{y^5 + x^2 + z^2}\)+\(1-\frac{z^5 - z^2}{z^5 + y^2 + x^2}\)\leq 3\\
\vspace{10}\\

\frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^5+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^5}\leq 3\\
\vspace{10}\\

\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^5+z^2}+\frac{1}{x^2+y^2+z^5}\leq\frac{3}{x^2+y^2+z^2}\\
\vspace{10}\\

Por Cauchy, temos:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2

Tomemos \left{a_1^2=x^5\\b_1^2=x^{-1}\\ a_2^2=b_2^2=y^2\\a_3^2=b_3^2=z^2

Substituindo:

(x^5+y^2+z^2)\(\frac{1}{x}+y^2+z^2\)\geq (x^2+y^2+z^2)^2

Mas da condição temos:

xyz\geq 1\;\Leftright\;\frac{1}{x}\leq yz

Assim:

(x^5+y^2+z^2)\(yz+y^2+z^2\)\geq (x^5+y^2+z^2)\(\frac{1}{x}+y^2+z^2\)\geq (x^2+y^2+z^2)^2

\frac{1}{x^5+y^2+z^2}\leq \frac{yz+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}

Podemos fazer o mesmo para as outras variáveis, então:

\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^5+z^2}+\frac{1}{x^2+y^2+z^5}\leq\frac{yz+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{x^2+xz+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{x^2+y^2+xy}{(x^2+y^2+z^2)^2}

Pela MA\geq MG temos :

\frac{yz+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{x^2+xz+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{x^2+y^2+xy}{(x^2+y^2+z^2)^2}\leq

\frac{\frac{y^2+z^2}{2}+y^2+z^2+ x^2+\frac{x^2+z^2}{2}+z^2 +x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}}{(x^2+y^2+z^2)^2}

O lado direito da inequação é igual a \frac{3}{x^2+y^2+z^2} .

Assim,

\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^5+z^2}+\frac{1}{x^2+y^2+z^5}\leq\frac{3}{x^2+y^2+z^2}

E a inequação é verdadeira.

Última edição: triplebig (Qua 25 Fev, 2009 03:28). Total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem IMO - Divisibilidade
    por Auto Excluído (ID:17906) » Sex 14 Abr, 2017 20:11 » em Olimpíadas
    2 Respostas
    580 Exibições
    Última msg por Auto Excluído (ID:17906)
    Sex 14 Abr, 2017 23:04
  • Nova mensagem IMO - Álgebra
    por Auto Excluído (ID:17906) » Sáb 15 Abr, 2017 10:49 » em Olimpíadas
    4 Respostas
    468 Exibições
    Última msg por jomatlove
    Sáb 15 Abr, 2017 15:54
  • Nova mensagem IMO - 1979 - Aritmética
    por Auto Excluído (ID:17906) » Ter 18 Abr, 2017 21:45 » em Olimpíadas
    0 Respostas
    335 Exibições
    Última msg por Auto Excluído (ID:17906)
    Ter 18 Abr, 2017 21:45
  • Nova mensagem IMO - 1959 - Álgebra
    por Auto Excluído (ID:17906) » Seg 24 Abr, 2017 14:53 » em Olimpíadas
    1 Respostas
    349 Exibições
    Última msg por rodBR
    Seg 24 Abr, 2017 18:17
  • Nova mensagem (IMO - 1987) Princípio da Indução Finita
    por GiovanaM » Qua 24 Jan, 2018 00:55 » em Olimpíadas
    2 Respostas
    409 Exibições
    Última msg por GiovanaM
    Qua 24 Jan, 2018 10:54

Voltar para “Olimpíadas”