Olimpíadas(OBMEP - 2007) Potenciação

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Thadeu
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Ago 2007 26 20:20

(OBMEP - 2007) Potenciação

Mensagem não lida por Thadeu »

Quantos são os números inteiros [tex3]p[/tex3] tais que [tex3]50^3<5^p<50^4?[/tex3]

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]2[/tex3]
c) [tex3]3[/tex3]
d) [tex3]4[/tex3]
e) [tex3]5[/tex3]

Última edição: Thadeu (Dom 26 Ago, 2007 20:20). Total de 1 vez.



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mawapa
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Ago 2007 26 21:48

Re: (OBMEP - 2007) Potenciação

Mensagem não lida por mawapa »

Olá thadeu!
  • [tex3]5^p \gt 50^3[/tex3]
    [tex3]5^p \gt (2 \cdot 5^2)^3[/tex3]
    [tex3]5^p \gt\, 8 \cdot 5^6[/tex3]
    [tex3]5^p \gt\, 1,6 \cdot 5 \cdot 5^6[/tex3]
    [tex3]5^p \gt 1,6 \cdot 5^7[/tex3]
Agora, vendo essa desigualdade dá pra perceber que [tex3]p \gt 7.[/tex3]

Para ter certeza:
  • [tex3]5^8\, \gt\, 1,6 \cdot 5^7[/tex3]
    [tex3]5 \cdot 5^7\, \gt\, 1,6 \cdot 5^7\text{ }\div (5^7)[/tex3]
    [tex3]5 \gt 1,6[/tex3]
Vimos que é verdade. Agora vamos fazer pra outra parte da desigualdade
  • [tex3]5^p < 50^4[/tex3]
    [tex3]5^p < (2 \cdot 5^2)^4[/tex3]
    [tex3]5^p <16 \cdot 5^8[/tex3]
    [tex3]5^p < 3,2 \cdot 5 \cdot 5^8[/tex3]
    [tex3]5^p < 3,2 \cdot 5^9[/tex3]
Olhando essa outra desigualdade dá pra perceber que [tex3]p < 10.[/tex3]

Logo há dois valores inteiros para [tex3]p[/tex3] entre [tex3]7 \text{ e 10: } p=8[/tex3] e [tex3]p=9.[/tex3]

Resposta: (b).

Última edição: mawapa (Dom 26 Ago, 2007 21:48). Total de 1 vez.



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