OlimpíadasEquação do 1º Grau Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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edu_landim
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Equação do 1º Grau

Mensagem não lida por edu_landim »

Determine a soma dos algarismos da raiz real da equação

[tex3]\frac{x\,-\,1}{2004}\,+\,\frac{x\,-\,3}{2002}\,+\,\frac{x\,-\,5}{2000}\,+\,\ldots\,+\,\frac{x\,-\,2003}{2}\,=\,\frac{x\,-\,2}{2003}\,+\,\frac{x\,-\,4}{2001}\,+\,\frac{x\,-\,6}{1999}\,+\,\ldots\,+\,\frac{x\,-\,2004}{1}[/tex3]

Última edição: edu_landim (Sex 24 Ago, 2007 20:12). Total de 1 vez.



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triplebig
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Re: Equação do 1º Grau

Mensagem não lida por triplebig »

Olá edu_landim

Nota-se que a soma do denominador com o inteiro do numerador é [tex3]2005,[/tex3] e há o mesmo numero de numeros de cada lado. Se você colocar [tex3]2005[/tex3] no lugar de [tex3]x[/tex3] vai ficar [tex3]1+1+1+1+\cdots +1 = 1+1+1+1+\cdots +1,[/tex3] que satisfaz a equação. Como você disse que só tem uma raiz real, então ela é [tex3]2005.[/tex3]

Logo, a resposta é [tex3]7.[/tex3]

é isso?

Abraço

Última edição: triplebig (Qua 19 Set, 2007 20:28). Total de 1 vez.



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edu_landim
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Re: Equação do 1º Grau

Mensagem não lida por edu_landim »

Realmente 2005 é raiz da equação, fica como desafio mostrar ser a única.


Deus escreve Matemática, mas poucos conseguem entender o mundo.

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italoemanuell
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Resolução...

Mensagem não lida por italoemanuell »

OLá triplebig e edu_landim!!

Segue-se abaixo a resolução da mesma:

Passando todos os termos do 2° membro para o 1° e ordenando,obtemos:
  • [tex3](\frac{x-1}{2004}-\frac{x-2}{2003})+(\frac{x-3}{2002}-\frac{x-4}{2001})+(\frac{x-5}{2000}-\frac{x-6}{2001})+\cdots +(\frac{x-2003}{2}-\frac{x-2004}{1})=0[/tex3] .
Efetuando-se as frações entre parentêses,vem:
  • [tex3]\frac{(-x+2005)}{2004.2003}+\frac{(-x+2005)}{2002.2001}+\frac{(-x+2005)}{2000.2001}+\cdots +\frac{(-x+2005)}{2.1}=0[/tex3] .
Observando a equação acima, podemos concluir que a igualdade é possível se, e somente se, [tex3]:-x+2005=0 \Rightarrow x=2005.[/tex3]

Portanto,só admite a solução: [tex3]2005\Rightarrow[/tex3] Soma dos dos algarismo é [tex3]7.[/tex3]

Espero ter ajudado!!

______________
"O grande arquitecto do universo começa agora a aparecer como um matemático puro. J. H. Jeans, 1930"

Última edição: italoemanuell (Qui 20 Set, 2007 10:28). Total de 1 vez.



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