Olimpíadas ⇒ alturas Tópico resolvido
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rean 
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Jul 2010
13
22:30
alturas
Mostre que as alturas de um triângulo se encontram em um mesmo ponto chamado ortocentro.
No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean
Rean
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FelipeMartin
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Fev 2022
16
17:43
Re: alturas
seja [tex3]r_a[/tex3]
a reta que passa por [tex3]A[/tex3]
e é paralela a [tex3]BC[/tex3]
. Analogamente, [tex3]B \in r_b \parallel AC[/tex3]
e [tex3]C \in r_c \parallel AB[/tex3]
.
Sejam [tex3]A' = r_b \cap r_c, B' = r_a \cap r_c[/tex3] e [tex3]C' = r_a \cap r_b[/tex3] . É óbvio que [tex3]\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'[/tex3] , pois seus lados são todos paralelos entre si. Ademais, [tex3]CBAB'[/tex3] é paralelogramo, logo [tex3]CB' = BA[/tex3] . Analogamente, [tex3]CA' = BA[/tex3] , de forma que [tex3]C[/tex3] é ponto médio de [tex3]A'B'[/tex3] . Oras, como [tex3]\overleftrightarrow{A'B'} = r_c \parallel AB[/tex3] , então a altura [tex3]h_C[/tex3] , relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , é perpendicular a [tex3]A'B'[/tex3] (pois ela é perpendicular a [tex3]AB[/tex3] ). Pronto: [tex3]h_C[/tex3] é mediatriz de [tex3]A'B'[/tex3] . Como as mediatrizes do [tex3]\triangle A'B'C'[/tex3] concorrem em seu circuncentro [tex3]H[/tex3], então as alturas do [tex3]\triangle ABC[/tex3] concorrem neste mesmo ponto, que chamamos ortocentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
Sejam [tex3]A' = r_b \cap r_c, B' = r_a \cap r_c[/tex3] e [tex3]C' = r_a \cap r_b[/tex3] . É óbvio que [tex3]\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'[/tex3] , pois seus lados são todos paralelos entre si. Ademais, [tex3]CBAB'[/tex3] é paralelogramo, logo [tex3]CB' = BA[/tex3] . Analogamente, [tex3]CA' = BA[/tex3] , de forma que [tex3]C[/tex3] é ponto médio de [tex3]A'B'[/tex3] . Oras, como [tex3]\overleftrightarrow{A'B'} = r_c \parallel AB[/tex3] , então a altura [tex3]h_C[/tex3] , relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , é perpendicular a [tex3]A'B'[/tex3] (pois ela é perpendicular a [tex3]AB[/tex3] ). Pronto: [tex3]h_C[/tex3] é mediatriz de [tex3]A'B'[/tex3] . Como as mediatrizes do [tex3]\triangle A'B'C'[/tex3] concorrem em seu circuncentro [tex3]H[/tex3], então as alturas do [tex3]\triangle ABC[/tex3] concorrem neste mesmo ponto, que chamamos ortocentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] .
Última edição: FelipeMartin (Qua 16 Fev, 2022 17:44). Total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Fev 2022
16
18:22
Re: alturas
Outra solução:(figura anexa)
Sejam AL, BM e CN as alturas do triângulo ∆ABC. E fácil ver que
[tex3]\mathtt{∆ANC ∼ ∆AMB ⇒\frac{AN}{MA} =\frac{AC}{AB} (I)\\
∆BLA ∼ ∆BNC ⇒\frac{BL}{NB} =\frac{AB}{BC} (II)\\
∆CMB ∼ ∆CLA ⇒\frac{CM}{LC} =\frac{BC}{AC} (III)\\
(I).(II).(III)=\\
\frac{AN}{MA} ·\frac{BL}{NB} ·\frac{CM}{LC} =\frac{AC}{AB} ·\frac{AB}{B} ·\frac{BC}{AC} = 1}[/tex3]
ou seja, as alturas são concorrentes.
(Solução:Prof. CíceroThiago)
Outra solução: a partir de um triângulo, traçar paraleas aos lados formando um triângulo maior cujos vértices do triângulo menor serão os pontos médios do triângulo maior(demonstração através dos ângulos formado por paralelas) e as alturas do triângulo menor serão as mediatrizes do triângulo maior e como elas comcorrem em um ponto fica demonstrado o que se pede.
Sejam AL, BM e CN as alturas do triângulo ∆ABC. E fácil ver que
[tex3]\mathtt{∆ANC ∼ ∆AMB ⇒\frac{AN}{MA} =\frac{AC}{AB} (I)\\
∆BLA ∼ ∆BNC ⇒\frac{BL}{NB} =\frac{AB}{BC} (II)\\
∆CMB ∼ ∆CLA ⇒\frac{CM}{LC} =\frac{BC}{AC} (III)\\
(I).(II).(III)=\\
\frac{AN}{MA} ·\frac{BL}{NB} ·\frac{CM}{LC} =\frac{AC}{AB} ·\frac{AB}{B} ·\frac{BC}{AC} = 1}[/tex3]
ou seja, as alturas são concorrentes.
(Solução:Prof. CíceroThiago)
Outra solução: a partir de um triângulo, traçar paraleas aos lados formando um triângulo maior cujos vértices do triângulo menor serão os pontos médios do triângulo maior(demonstração através dos ângulos formado por paralelas) e as alturas do triângulo menor serão as mediatrizes do triângulo maior e como elas comcorrem em um ponto fica demonstrado o que se pede.
- Anexos
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- fig2.jpg (12.87 KiB) Exibido 897 vezes
Última edição: petras (Qua 16 Fev, 2022 18:23). Total de 1 vez.
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FelipeMartin
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Fev 2022
16
18:30
Re: alturas
Outra solução: Como [tex3]O[/tex3]
e [tex3]H[/tex3]
são conjugados isogonais, a existência de [tex3]O[/tex3]
garante a existência de [tex3]H[/tex3]
.
Outra solução:
[tex3]\triangle ANC ∼ \triangle AMB ⇒\frac{AN}{MA} =\frac{AC}{AB} (I)\\
\triangle BLA ∼ \triangle BNC ⇒\frac{BL}{NB} =\frac{AB}{BC} (II)\\
\triangle CMB ∼ \triangle CLA ⇒\frac{CM}{LC} =\frac{BC}{AC} (III)\\
(I).(II).(III)=\\
\frac{AN}{MA} ·\frac{BL}{NB} ·\frac{CM}{LC} =\frac{AC}{AB} ·\frac{AB}{B} ·\frac{BC}{AC} = 1[/tex3]
e, conhecendo-se o teorema de Ceva ( https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Ceva ), sabe-se que as alturas são concorrentes.
Outra solução:
Vetorialmente, o ponto [tex3]H = \frac{A \tg A + B \tg B + C \tg C}{\tg A + \tg B + \tg C}[/tex3] se encontra sobre as alturas do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] e portanto as três concorrem em [tex3]H[/tex3]
Outra solução:
[tex3]\triangle ANC ∼ \triangle AMB ⇒\frac{AN}{MA} =\frac{AC}{AB} (I)\\
\triangle BLA ∼ \triangle BNC ⇒\frac{BL}{NB} =\frac{AB}{BC} (II)\\
\triangle CMB ∼ \triangle CLA ⇒\frac{CM}{LC} =\frac{BC}{AC} (III)\\
(I).(II).(III)=\\
\frac{AN}{MA} ·\frac{BL}{NB} ·\frac{CM}{LC} =\frac{AC}{AB} ·\frac{AB}{B} ·\frac{BC}{AC} = 1[/tex3]
e, conhecendo-se o teorema de Ceva ( https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Ceva ), sabe-se que as alturas são concorrentes.
Outra solução:
Vetorialmente, o ponto [tex3]H = \frac{A \tg A + B \tg B + C \tg C}{\tg A + \tg B + \tg C}[/tex3] se encontra sobre as alturas do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] e portanto as três concorrem em [tex3]H[/tex3]
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