Olimpíadasmedianas Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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medianas

Mensagem não lida por rean »

Mostre que as medianas de um triângulo se intersecta em um ponto mesmo ponto chamado baricentro do triângulo.



No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean

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petras
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Fev 2022 16 16:57

Re: medianas

Mensagem não lida por petras »

Seja o triângulo ABC, tracemos as medianas BMb e CMc,
que se cortam em G, conforme figura.
tracemos a semi-reta AG que encontra BC e Ma.
De fato, seja E em AG, tal que GE = AG e tracemos BE e CE.
No ∆ ABE, GMc || BE, pois G e Mc são pontos médios dos lados AE
e AB, respectivamente (base média).
De modo análogo, GMb || CE no ∆ ACE.
Portanto, BECG é um paralelogramo (Definição) e suas diagonais BC e GE
se encontram em seus pontos médios.
Logo,
1) Ma é o ponto médio de BC e AMa é a terceira mediana.
2) AG = GE = 2 · GMa ou AG = GE =
2/3· AMa
De modo similar, sBG = 2 · GMb e CG = 2 · GMc
(Solução: site uff)
Anexos
fig2.jpg
fig2.jpg (6.48 KiB) Exibido 844 vezes

Última edição: petras (Qua 16 Fev, 2022 18:43). Total de 1 vez.



FelipeMartin
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Fev 2022 16 18:33

Re: medianas

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Outra solução: O ponto [tex3]G = \frac{A+B+C}3[/tex3] se encontra sobre as medianas [tex3]X = A + (\frac{B+C}2-A)t[/tex3] , [tex3]X = B + (\frac{A+C}2-B)t[/tex3] para [tex3]t \in [0,1][/tex3] , [tex3]t = \frac23[/tex3]


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
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Fev 2022 17 10:30

Re: medianas

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Outra solução: sejam [tex3]M_a,M_b[/tex3] e [tex3]M_c[/tex3] os pontos médios dos lados [tex3]BC,AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] , [tex3]\frac{M_aC}{M_aB} \cdot \frac{M_cB}{M_cA} \cdot \frac{M_bA}{M_bC} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/tex3] , logo, conhecendo-se o teorema de Ceva (https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Ceva), segue que as medianas são concorrentes.

Última edição: FelipeMartin (Qui 17 Fev, 2022 10:44). Total de 1 vez.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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