Olimpíadas ⇒ mediatrizes Tópico resolvido
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rean 
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Jul 2010
13
22:10
mediatrizes
Mostre que as tres mediatrizes aos lados de um triângulo se encontra em um ponto.
No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean
Rean
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FelipeMartin
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Fev 2022
16
17:00
Re: mediatrizes
Sabemos daqui que a mediatriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos distintos.
Fato: as mediatrizes dos segmentos [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] concorrem em um ponto [tex3]X[/tex3] , pois, do contrário, elas seriam paralelas entre si e isso implicaria que as retas [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] seriam paralelas, logo, [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] seriam colineares e não formariam um triângulo.
Como [tex3]X[/tex3] está na mediatriz de [tex3]AB[/tex3] : [tex3]XA = XB[/tex3]
Como [tex3]X[/tex3] está na mediatriz de [tex3]AC[/tex3] : [tex3]XA = XC[/tex3] , logo, [tex3]XC = XA = XB \implies XA = XB[/tex3]
portanto, [tex3]X[/tex3] equidista de [tex3]CB[/tex3] , logo, está também na mediatriz de [tex3]CB[/tex3] .
Portanto, as três mediatrizes de um triângulo sempre concorrem.
Fato: as mediatrizes dos segmentos [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] concorrem em um ponto [tex3]X[/tex3] , pois, do contrário, elas seriam paralelas entre si e isso implicaria que as retas [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] seriam paralelas, logo, [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] seriam colineares e não formariam um triângulo.
Como [tex3]X[/tex3] está na mediatriz de [tex3]AB[/tex3] : [tex3]XA = XB[/tex3]
Como [tex3]X[/tex3] está na mediatriz de [tex3]AC[/tex3] : [tex3]XA = XC[/tex3] , logo, [tex3]XC = XA = XB \implies XA = XB[/tex3]
portanto, [tex3]X[/tex3] equidista de [tex3]CB[/tex3] , logo, está também na mediatriz de [tex3]CB[/tex3] .
Portanto, as três mediatrizes de um triângulo sempre concorrem.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Fev 2022
16
17:22
Re: mediatrizes
Outra resolução:
Seja o triângulo ABC, trace as mediatrizes DP e EP.
[tex3]\mathtt{
\triangle BDP \cong\triangle CDP(L.A.L.)\\
\therefore BP=PC\\
\triangle APE \cong \triangle CPE\\
\therefore AP=PC\\
Assim: AP = PC = BP\\
Trace: PF(F~ponto~médio~AB)\\
\triangle APF \cong\triangle BPF(LLLL=)\\
\therefore \angle PFA =\angle PFB\\
mas~\angle PFA+\angle PFB = 180^o \implies \angle PFA = \angle PFB = 90^o\\
\therefore FE \perp AB \implies FE
\therefore FE~é~mediatriz
}[/tex3]
(Solução:gusalberto8)
Seja o triângulo ABC, trace as mediatrizes DP e EP.
[tex3]\mathtt{
\triangle BDP \cong\triangle CDP(L.A.L.)\\
\therefore BP=PC\\
\triangle APE \cong \triangle CPE\\
\therefore AP=PC\\
Assim: AP = PC = BP\\
Trace: PF(F~ponto~médio~AB)\\
\triangle APF \cong\triangle BPF(LLLL=)\\
\therefore \angle PFA =\angle PFB\\
mas~\angle PFA+\angle PFB = 180^o \implies \angle PFA = \angle PFB = 90^o\\
\therefore FE \perp AB \implies FE
\therefore FE~é~mediatriz
}[/tex3]
(Solução:gusalberto8)
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