Olimpíadasalgarismos iguais a 1

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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algarismos iguais a 1

Mensagem não lida por rean »

Prove que existe um natural n tal que a expressão decimal de [tex3]n^{1992}[/tex3]
comerça com [tex3]1992[/tex3] algarismos iguais a [tex3]1[/tex3] .

Última edição: rean (Qua 09 Jun, 2010 08:55). Total de 2 vezes.


No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean

Deleted User 25040
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Re: algarismos iguais a 1

Mensagem não lida por Deleted User 25040 »

,..............................up...............................




FelipeMartin
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Re: algarismos iguais a 1

Mensagem não lida por FelipeMartin »

sendo [tex3]a = \underbrace{111... 111}_{\text{1992 vezes}}[/tex3] , queremos,

[tex3]a \cdot 10^k < n^{1992} <(a+1) \cdot 10^k [/tex3]

[tex3]\sqrt[1992]{a \cdot 10^k }< n <\sqrt[1992]{(a+1) \cdot 10^k} [/tex3]


para [tex3]k[/tex3] suficientemente grande isso deve ser verdade para algum [tex3]n[/tex3] , por exemplo, [tex3]n=\left\lfloor\left(\dfrac19\right)^{1/1992}\times10^{2000}\right\rfloor[/tex3] .



φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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