Olimpíadasteoria dos números (discriminante do 2° grau)

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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teoria dos números (discriminante do 2° grau)

Mensagem não lida por rean »

O discriminante de uma equação do segundo grau cujos coeficientes são inteiros não pode igual a:

a)23 b)24 c)25 d)28 e)33



No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean

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marcelostick
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Mar 2010 22 22:26

Re: teoria dos números (discriminante do 2° grau)

Mensagem não lida por marcelostick »

Gabarito : Letra A , 23 .


A discriminante é : [tex3]b^{2} - 4ac[/tex3] , não podemos afirmar que [tex3]4ac[/tex3] será um múltiplo de quatro . Se [tex3]a*c[/tex3] for igual a [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] , não teremos um múltiplo de quatro . no caso será o número 3 , que não é multiplo nem divisor inteiro do número 4 .

Observe : nessa equação temos : [tex3]b^{2} - b + 4ac[/tex3] , pois temos que [tex3]23^{2} - 4ac = 23[/tex3] . temos que o b seja o 23 . O delta da equação será : [tex3]b^{2} - 16ac[/tex3] , o que jamais ocasionará a volta ao 23 , mesmo a e b sendo negativos, pois a soma das raízes é 23 e o produto é [tex3]4*a*c[/tex3] . Eis aí o motivo d'eu ter pensado no número 23 antes do outros .

Abraços e até logo !

Última edição: marcelostick (Seg 22 Mar, 2010 22:26). Total de 1 vez.


"Ninguém pode conceber tão bem uma coisa e fazê-la sua, quando a aprende de um outro, em vez de a inventar ele próprio." René Descartes

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quevedo
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Re: teoria dos números (discriminante do 2° grau)

Mensagem não lida por quevedo »

Desculpe, mas como não entendi a resposta dada anteriormente, colocarei a minha!

Se b = par = 2k
delta = 4k^2 - 4ac = divisível por 4. logo 24 e 28 são soluções possíveis

Se b = ímpar = 2k + 1
delta = 4k^2 + 4k + 1 - 4ac = 4(k^2 + k - ac) + 1 , ou seja, delta deixa resto 1 na divisão por 4. Como 25 e 33 deixam resto 1 na divisão por 4, o único ítem que não é divisível por 4 nem deixa resto 1 na divisão por 4 é o número 23.

Gab A




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