OlimpíadasTriângulo Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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rean
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Triângulo

Mensagem não lida por rean »

[tex3]\mathbb{TRIANGULO}[/tex3]

No quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] , [tex3]A\angle+B\angle=120º[/tex3] , [tex3]AD=BC=9[/tex3] e [tex3]AB=12[/tex3] . Externamente ao lado [tex3]CD[/tex3] , construímos o [tex3]\triangle{CDE}[/tex3] equilátero. Calcule a área do [tex3]\triangle{ABE}[/tex3] .
S.jpg
S.jpg (11.76 KiB) Exibido 1056 vezes
Resposta

resp.[tex3]16\sqrt{3}[/tex3]

Última edição: caju (Qua 04 Jul, 2018 14:25). Total de 2 vezes.
Razão: colocar spoiler na resposta.


No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean

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Babi123
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Re: Triângulo

Mensagem não lida por Babi123 »

:shock::shock::shock:




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caju
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Re: Triângulo

Mensagem não lida por caju »

Olá Babi123 e rean,

Vou arrumar a figura de forma a ficar melhor pra resolução:
Screen Shot 2018-07-04 at 15.17.31.png
Screen Shot 2018-07-04 at 15.17.31.png (80.69 KiB) Exibido 909 vezes
Vou explicar os ângulos marcados.

- Pensando no triângulo [tex3]AFB[/tex3] , temos que a soma dos ângulos da base vale 120º. Portanto, o ângulo [tex3]AFB=60º[/tex3]
- Como o enunciado fala que [tex3]A\angle+B\angle=120º[/tex3] , chamei [tex3]A\angle=\alpha[/tex3] , portanto, [tex3]B\angle=120º-\alpha[/tex3]
- Chamando o ângulo [tex3]ADC=\beta[/tex3] , e fazendo a soma dos ângulos internos do quadrilátero (360º), chegamos a [tex3]DCB=240-\beta[/tex3]
- Fazendo a soma dos ângulos ao redor do ponto C (que, somados, resultam 360º), chegamos que o ângulo [tex3]BCE=60+\beta[/tex3] .

Note que, os triângulos ADE e BCE são iguais! Pois são semelhantes (por LAL), e possuem um lado igual (lado de comprimento 9). Assim, chegamos que AE=BE. Ou seja, o triângulo ABE é isósceles.

Como os ângulos DAE e CBE são iguais (pois os triângulos ADE e BCE são idênticos), podemos concluir que o que diminuiu de ângulo no lado esquerdo da base do triângulo ABE, aumentou no lado direito da mesma base. Assim, a soma dos ângulos da base do triângulo ABE continua valendo 120º.

Como já provamos que ABE é isósceles, e agora sabemos que a soma dos ângulos da base vale 120º, concluímos que o triângulo verde tem todos os ângulos iguais a 60º, ou seja, é um triângulo equilátero de lado 12.

[tex3]Área = \frac{12^2\sqrt{3}}{4}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{\boxed{\text{Área}=36\sqrt{3}}}[/tex3]

De repente fiz alguma conta errada no processo, por isso deu diferente do gabarito. Ou o gabarito está errado mesmo. Mas, a lógica de resolução acredito fortemente que está correta :)

Grande abraço,
Prof. Caju



"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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