Olá
Babi123 e
rean,
Vou arrumar a figura de forma a ficar melhor pra resolução:
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Vou explicar os ângulos marcados.
- Pensando no triângulo [tex3]AFB[/tex3]
, temos que a soma dos ângulos da base vale 120º. Portanto, o ângulo [tex3]AFB=60º[/tex3]
- Como o enunciado fala que [tex3]A\angle+B\angle=120º[/tex3]
, chamei [tex3]A\angle=\alpha[/tex3]
, portanto, [tex3]B\angle=120º-\alpha[/tex3]
- Chamando o ângulo [tex3]ADC=\beta[/tex3]
, e fazendo a soma dos ângulos internos do quadrilátero (360º), chegamos a [tex3]DCB=240-\beta[/tex3]
- Fazendo a soma dos ângulos ao redor do ponto C (que, somados, resultam 360º), chegamos que o ângulo [tex3]BCE=60+\beta[/tex3]
.
Note que, os triângulos ADE e BCE são iguais! Pois são semelhantes (por LAL), e possuem um lado igual (lado de comprimento 9). Assim, chegamos que AE=BE. Ou seja, o triângulo ABE é isósceles.
Como os ângulos DAE e CBE são iguais (pois os triângulos ADE e BCE são idênticos), podemos concluir que o que diminuiu de ângulo no lado esquerdo da base do triângulo ABE, aumentou no lado direito da mesma base. Assim, a soma dos ângulos da base do triângulo ABE continua valendo 120º.
Como já provamos que ABE é isósceles, e agora sabemos que a soma dos ângulos da base vale 120º, concluímos que o triângulo verde tem todos os ângulos iguais a 60º, ou seja, é um triângulo equilátero de lado 12.
[tex3]Área = \frac{12^2\sqrt{3}}{4}\,\,\,\to\,\,\,\boxed{\boxed{\text{Área}=36\sqrt{3}}}[/tex3]
De repente fiz alguma conta errada no processo, por isso deu diferente do gabarito. Ou o gabarito está errado mesmo. Mas, a lógica de resolução acredito fortemente que está correta
Grande abraço,
Prof. Caju