Olimpíadas

Sejam a,b,c reais distintos tais que:
[tex3]a^3=3b^2+3c^2-25[/tex3]
[tex3]b^3=3a^2+3c^2-25[/tex3]
[tex3]c^3=3a^2+3b^2-25[/tex3]

Calcule o valor de [tex3]abc[/tex3] .

________
''A Matemática é como um moinho de café que mói admiravelmente o que se lhe dá para moer, mas não devolve outra coisa senão o que se lhe deu. (Faraday)''

Olá a todos!

Bom, acho que é assim que se resolve:

[tex3]a^3=3b^2+3c^2-25[/tex3] (I)
[tex3]b^3=3a^2+3c^2-25[/tex3] (II)
[tex3]c^3=3a^2+3b^2-25[/tex3] (III)

(I)-(II): [tex3]a^3-b^3=3b^2-3a^2 \Rightarrow (a-b).(a^2+ab+b^2)+3.(a-b).(a+b)=0 \Rightarrow (a-b).(a^2+3a+ab+3b+b^2)=0[/tex3]

Como a,b,c são distintos: [tex3]a^2+3a+ab+3b+b^2=0[/tex3]

Fazendo o mesmo processo chegamos nas seguintes equações:

[tex3]a^2+3a+ab+3b+b^2=0[/tex3] (IV)
[tex3]a^2+3a+ac+3c+c^2=0[/tex3] (V)
[tex3]b^2+3b+bc+3c+c^2=0[/tex3] (VI)

(IV)-(V): [tex3]ab-ac+3b-3c+b^2-c^2=0[/tex3]

[tex3]a.(b-c)+3.(b-c)+(b+c).(b-c)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a.(b-c)+3.(b-c)+(b+c).(b-c)=0[/tex3]

[tex3](b-c).(a+b+c+3)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](b-c).(a+b+c+3)=0[/tex3]

[tex3]a+b+c=-3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c=-3[/tex3]

(IV): [tex3]a^2+a.(b+3)+b.(b+3)=0 \Rightarrow a^2+(a+b).(b+3)=0 \Rightarrow a^2+(a+b).(-a-c)=0 \Rightarrow ab+ac+bc=0[/tex3]

(IV)+(V)+(VI): [tex3]2.(a^2+b^2+c^2)+6.(a+b+c)+(ab+ac+bc)=0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2=9[/tex3]

(I)+(II)+(III): [tex3]a^3+b^3+c^3=6.(a^2+b^2+c^2)-75=-21[/tex3]

[tex3](a+b+c)^3=-27 \Rightarrow a^3+b^3+c^3+3a^2(b+c)+3b^2(a+c)+3c^2(a+b)+6abc=-27 \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3a^2(-a-3)+3b^2(-b-3)+3c^2(-c-3)+6abc=-27[/tex3]

[tex3]{-}2.(a^3+b^3+c^3)-9(a^2+b^2+c^2)+6abc=-27[/tex3]

[tex3]42-81+6abc=-27[/tex3]

Portanto: [tex3]abc=2[/tex3]

Ufa! Acho que é isso. Por favor verifiquem se não há nenhum erro.
Pedro, coloque a sua solução.

É Realmente marco_sx,a minha solução deu 2(fiz um processo parecido com o seu!!!).
Questão da OLIMPÍADA DA BIELORRUSIA,muito bonita!!!!!!!!

Valeu pelas soluções e acho que a resposta é mesmo 2!!!

Fui...............................

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(Olimpíada Bielorússa) Sistema de Equações Não-Lineares

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