Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Equações Polinomiais

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O número de pares [tex3](x,\,y)[/tex3]

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[tex3](x,\,y)[/tex3]

de inteiros positivos que satisfazem a equação [tex3]x^8 + 3 y^4 = 4 x^2 y^3,[/tex3]

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[tex3]x^8 + 3 y^4 = 4 x^2 y^3,[/tex3]

com [tex3]1\leq y \leq 2007[/tex3]

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[tex3]1\leq y \leq 2007[/tex3]

é igual a:

a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44

fui.......

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olá italo

dividindo tudo por [tex3]x^8[/tex3]

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[tex3]x^8[/tex3]

temos :

[tex3]1 + 3(\frac{y}{x^2})^4 = 4(\frac{y}{x^2})^3[/tex3]

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[tex3]1 + 3(\frac{y}{x^2})^4 = 4(\frac{y}{x^2})^3[/tex3]

Tornando [tex3]a = \frac{y}{x^2}[/tex3]

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[tex3]a = \frac{y}{x^2}[/tex3]

, temos

[tex3]3a^4 - 4a^3 + 1 = 0[/tex3]

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[tex3]3a^4 - 4a^3 + 1 = 0[/tex3]

fatorando, temos

[tex3](a - 1)^2(3a^2 + 2a + 1) = 0[/tex3]

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[tex3](a - 1)^2(3a^2 + 2a + 1) = 0[/tex3]

tiramos uma única raiz racional da equação, que é 1 .


[tex3]1 = \frac{y}{x^2} -> y = x^2[/tex3]

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[tex3]1 = \frac{y}{x^2} -> y = x^2[/tex3]

Pela limitação, ''y'' pode assumir todos os valores de quadrados perfeitos no intervalo.

letra E