Olimpíadas ⇒ Geometria Plana: Área de um Triângulo

[rean]

Calcule a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

cujas bissetrizes internas medem [tex3]\text{3 cm, 5 cm e 8 cm.}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{3 cm, 5 cm e 8 cm.}[/tex3]

[Deleted User 23699]

[tex3]\beta(a) =\sqrt{bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}}[/tex3]

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[tex3]\beta(a) =\sqrt{bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}}[/tex3]

E análogos

Desenvolvendo

[tex3]\begin{cases}
9b^2+18bc+9c^2=b^3c+2b^2c^2+bc^3-a^2bc \\
25a^2+50ac+25c^2=a^3c+2a^2c^2+ac^3-ab^2c \\
64a^2+128b+64b^2=a^3b+2a^2b^2+ab^3-abc^2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
9b^2+18bc+9c^2=b^3c+2b^2c^2+bc^3-a^2bc \\
25a^2+50ac+25c^2=a^3c+2a^2c^2+ac^3-ab^2c \\
64a^2+128b+64b^2=a^3b+2a^2b^2+ab^3-abc^2
\end{cases}[/tex3]

Agora é só resolver esse sisteminha de três equações com três incógnitas

E jogar na fórmula de Heron...

Deve ter algum truque mais fácil
Exemplo daquela ideia das medianas onde o triângulo com lados do tamanho das medianas possui área igual a 4/3 da área do triângulo original...

Todavia, não conheço nada assim para bissetrizes

[geobson]

..............up..........

[FelipeMartin]

uns rabiscos:
[tex3]b_a = \frac{\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c} [/tex3]

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[tex3]b_a = \frac{\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c} [/tex3]

[tex3]b_b = \frac{\sqrt{acp(p-b)}}{a+c}[/tex3]

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[tex3]b_b = \frac{\sqrt{acp(p-b)}}{a+c}[/tex3]

[tex3]\frac{b_a}{b_b} = \sqrt{\frac{b(p-a)}{a(p-b)}} \cdot \frac{a+c}{b+c} [/tex3]

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[tex3]\frac{b_a}{b_b} = \sqrt{\frac{b(p-a)}{a(p-b)}} \cdot \frac{a+c}{b+c} [/tex3]

[FelipeMartin]

Esse problema é bem complicado. Veja bem, não é possível encontrar uma expressão simples com radicais que dê a área do triângulo em função dos comprimentos das suas bissetrizes internas, segundo este paper:

https://www.researchgate.net/publicatio ... _bisectors

Segundo o próprio paper, porém, é válida a seguinte relação:

[tex3]4a_2r^2S^2 -8a_3r^3S^2 = r^4 + S^2[/tex3]

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[tex3]4a_2r^2S^2 -8a_3r^3S^2 = r^4 + S^2[/tex3]

, onde [tex3]a_2 = b_a^{-2}+b_b^{-2}+b_c^{-2}[/tex3]

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[tex3]a_2 = b_a^{-2}+b_b^{-2}+b_c^{-2}[/tex3]

e [tex3]a_3 = \frac1{b_ab_bb_c}[/tex3]

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[tex3]a_3 = \frac1{b_ab_bb_c}[/tex3]

No nosso caso, [tex3]a_3 = \frac1{120}[/tex3]

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[tex3]a_3 = \frac1{120}[/tex3]

e [tex3]a_2 = \frac{2401}{14400}[/tex3]

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[tex3]a_2 = \frac{2401}{14400}[/tex3]

:

[tex3]\frac{r^2S^2 \cdot2401}{3600} - \frac{r^3S^2}{15} = r^4 + S^2[/tex3]

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[tex3]\frac{r^2S^2 \cdot2401}{3600} - \frac{r^3S^2}{15} = r^4 + S^2[/tex3]

não ajuda muito.

Outra relação que talvez ajude seja: [tex3]b_a = 2p \frac{\sen (\frac B2) \sen (\frac C2)}{\cos(\frac A2) \cos (\frac{B-C}2)}[/tex3]

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[tex3]b_a = 2p \frac{\sen (\frac B2) \sen (\frac C2)}{\cos(\frac A2) \cos (\frac{B-C}2)}[/tex3]

e usar que [tex3]b_A = b_c + b_b[/tex3]

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[tex3]b_A = b_c + b_b[/tex3]

no caso. Talvez nos dê um dos ângulos do triângulo, o que poderia ajudar a resolver esse problema em particular. Mas geralmente não é possível expressar a área do triângulo em termos dos comprimentos das bissetrizes internas (por questões "numéricas", como resolver equações do quinto grau)

[petras]

FelipeMartin,

Então não seria tão tranquilo como vc mencionou na outra questão que pedia a dedução da fórmula da Área em função das bissetrizes???

[FelipeMartin]

petras, a fórmula da outra questão não usa somente o comprimento das bissetrizes...

[petras]

FelipeMartin,

Sua fórmula está incompleta..falta o 2 no numerador

[tex3]\frac{2}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)}[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)}[/tex3]

..as outras também

[FelipeMartin]

petras, sim, faltou o 2 mesmo. Falha minha.