Olimpíadas ⇒ Geometria Plana: Área de um Triângulo
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
rean 
- Mensagens: 644
- Registrado em: Seg 26 Mar, 2007 10:31
- Última visita: 27-10-22
- Localização: Recife
- Contato:
Jul 2007
02
12:48
Geometria Plana: Área de um Triângulo
Em um [tex3]\triangle ABC,[/tex3]
[tex3]AD, BE, CF[/tex3]
são concorrentes no ponto [tex3]P[/tex3]
tal que [tex3]AP = PD = 6, EP = 3,[/tex3]
[tex3]PB = 9[/tex3]
e [tex3]CF = 20.[/tex3]
Qual é a área do [tex3]\triangle ABC ?[/tex3]
Última edição: rean (Seg 02 Jul, 2007 12:48). Total de 1 vez.
-
Alexandre_SC 
- Mensagens: 505
- Registrado em: Dom 06 Mai, 2007 21:13
- Última visita: 28-06-11
- Localização: Joinville - SC
Jul 2007
20
00:17
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
- AA90.png (29.78 KiB) Exibido 2059 vezes
Provavelmente o italoemanoell ou o thales pode responder.
Última edição: Alexandre_SC (Sex 20 Jul, 2007 00:17). Total de 1 vez.
Jul 2007
20
15:43
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
Iaí Alexandre_SC,
Dei uma olhada nessa questão e de acordo com minha a análise não se pode concluir que o [tex3]\triangle APB[/tex3] é [tex3]3[/tex3] vezes maior que o [tex3]\triangle DEP,[/tex3] sendo que eles não são semelhantes. Se eu estiver errado me corrija.
O meu desenho ficou assim:
Dei uma olhada nessa questão e de acordo com minha a análise não se pode concluir que o [tex3]\triangle APB[/tex3] é [tex3]3[/tex3] vezes maior que o [tex3]\triangle DEP,[/tex3] sendo que eles não são semelhantes. Se eu estiver errado me corrija.
O meu desenho ficou assim:
- AA91.png (43.39 KiB) Exibido 2057 vezes
Última edição: brain_tnt (Sex 20 Jul, 2007 15:43). Total de 1 vez.
-
Alexandre_SC
- Mensagens: 505
- Registrado em: Dom 06 Mai, 2007 21:13
- Última visita: 28-06-11
- Localização: Joinville - SC
Jul 2007
21
00:24
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
se eu não me engano
[tex3]D\widehat{P}E = A\widehat{P}B[/tex3]
Vou chamar isso de [tex3]a[/tex3]
Me enganei nos valores.
Alguém, me explique porque [tex3]D\widehat{P}F = 90^\circ .[/tex3]
[tex3]D\widehat{P}E = A\widehat{P}B[/tex3]
Vou chamar isso de [tex3]a[/tex3]
- Tomando [tex3]6[/tex3]
como base temos altura igual a [tex3]3\cdot \text{sen} a[/tex3]
para [tex3]\triangle EPD[/tex3]
Tomando [tex3]3[/tex3] como base temos altura igual a [tex3]6\cdot \text{sen} a[/tex3] para [tex3]\triangle EPD[/tex3]
Tomando [tex3]9[/tex3] como base temos altura igual a [tex3]3\cdot \text{sen} a[/tex3] para [tex3]\triangle APB[/tex3]
Tomando [tex3]3[/tex3] como base temos altura igual a [tex3]3\cdot \text{sen} a[/tex3] para [tex3]\triangle APB[/tex3]
Me enganei nos valores.
- [tex3]2\cdot [APB] = 3\cdot [EPD][/tex3]
Alguém, me explique porque [tex3]D\widehat{P}F = 90^\circ .[/tex3]
Última edição: Alexandre_SC (Sáb 21 Jul, 2007 00:24). Total de 2 vezes.
Jul 2007
21
01:06
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
Na verdade [tex3]E\widehat{P}F[/tex3]
não é igual a [tex3]90^\circ .[/tex3]
E sim [tex3]F\widehat{P}A[/tex3] e [tex3]F\widehat{P}D=90^\circ .[/tex3]
A reta [tex3]FC[/tex3] divide a reta [tex3]AD[/tex3] em [tex3]2[/tex3] partes iguais e, analisando bem, a reta [tex3]FP[/tex3] é bissetriz do [tex3]\triangle AFD .[/tex3]
[tex3]P[/tex3] é o ponto médio do lado [tex3]AD[/tex3] no [tex3]\triangle AFD[/tex3] e a bissetriz sempre forma uma ângulo de [tex3]90^\circ[/tex3] com o lado que ele toca... no caso, em [tex3]AD.[/tex3]
Ainda podemos concluir que o [tex3]\triangle AFD[/tex3] é equilátero.
Obs: Se eu tiver errado me corrija.
E sim [tex3]F\widehat{P}A[/tex3] e [tex3]F\widehat{P}D=90^\circ .[/tex3]
A reta [tex3]FC[/tex3] divide a reta [tex3]AD[/tex3] em [tex3]2[/tex3] partes iguais e, analisando bem, a reta [tex3]FP[/tex3] é bissetriz do [tex3]\triangle AFD .[/tex3]
[tex3]P[/tex3] é o ponto médio do lado [tex3]AD[/tex3] no [tex3]\triangle AFD[/tex3] e a bissetriz sempre forma uma ângulo de [tex3]90^\circ[/tex3] com o lado que ele toca... no caso, em [tex3]AD.[/tex3]
Ainda podemos concluir que o [tex3]\triangle AFD[/tex3] é equilátero.
Obs: Se eu tiver errado me corrija.
Última edição: brain_tnt (Sáb 21 Jul, 2007 01:06). Total de 1 vez.
-
Auto Excluído (ID:276)
- Última visita: 31-12-69
Jul 2007
21
12:04
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
Bom dia pessoal
Se eu não me engano, a altura divide o lado oposto em [tex3]2[/tex3] segmentos iguais quando o triângulo for equilátero ou isósceles.
Digamos que o [tex3]\triangle ACD[/tex3] seja equilátero. Os segmentos [tex3]AC,[/tex3] [tex3]AD,[/tex3] [tex3]CD[/tex3] valerão [tex3]12.[/tex3] A altura deste triângulo equilátero [tex3](CP)[/tex3] será igual a [tex3]6\sqrt{3} .[/tex3] Aplicando pitágoras verão que os valores se ratificam. A altura do triângulo [tex3]APC[/tex3] valerá [tex3]3\sqrt{3} \approx 5,1[/tex3]
O outro segmento formado valerá [tex3]9 - 5,1 = 3,9.[/tex3]
Sabendo que a base é igual a [tex3]12[/tex3] e a altura relativa a este lado é igual a [tex3]3,9 .[/tex3] A área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] será igual a [tex3]\frac{12 \cdot 3,9}{2} = 23,4[/tex3]
Por favor, corrijam-me.
Se eu não me engano, a altura divide o lado oposto em [tex3]2[/tex3] segmentos iguais quando o triângulo for equilátero ou isósceles.
Digamos que o [tex3]\triangle ACD[/tex3] seja equilátero. Os segmentos [tex3]AC,[/tex3] [tex3]AD,[/tex3] [tex3]CD[/tex3] valerão [tex3]12.[/tex3] A altura deste triângulo equilátero [tex3](CP)[/tex3] será igual a [tex3]6\sqrt{3} .[/tex3] Aplicando pitágoras verão que os valores se ratificam. A altura do triângulo [tex3]APC[/tex3] valerá [tex3]3\sqrt{3} \approx 5,1[/tex3]
O outro segmento formado valerá [tex3]9 - 5,1 = 3,9.[/tex3]
Sabendo que a base é igual a [tex3]12[/tex3] e a altura relativa a este lado é igual a [tex3]3,9 .[/tex3] A área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] será igual a [tex3]\frac{12 \cdot 3,9}{2} = 23,4[/tex3]
Por favor, corrijam-me.
Última edição: Auto Excluído (ID:276) (Sáb 21 Jul, 2007 12:04). Total de 2 vezes.
-
Alexandre_SC
- Mensagens: 505
- Registrado em: Dom 06 Mai, 2007 21:13
- Última visita: 28-06-11
- Localização: Joinville - SC
Jul 2007
21
13:18
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
Estou vendo que nessa questão eu vou incomodar!
Ao dizer que [tex3]PF[/tex3] é bissetriz de [tex3]A\hat F D[/tex3] diz-se que [tex3]FD = AF[/tex3] certo?
Tem-se que a área de [tex3]ACDF[/tex3] vale [tex3]20\cdot 6 = 120.[/tex3]
[tex3]AFD[/tex3] e [tex3]ADC[/tex3] são isósceles mas não equiláteros segundo minha análise. Vou ser mais expecífico. Esqueçam tudo que foi postado nesse tópico e enumerem o que se pode afirmar quando se diz que [tex3]AD , BE , CF[/tex3] são concorrentes no ponto [tex3]P.[/tex3]
Ao dizer que [tex3]PF[/tex3] é bissetriz de [tex3]A\hat F D[/tex3] diz-se que [tex3]FD = AF[/tex3] certo?
Tem-se que a área de [tex3]ACDF[/tex3] vale [tex3]20\cdot 6 = 120.[/tex3]
[tex3]AFD[/tex3] e [tex3]ADC[/tex3] são isósceles mas não equiláteros segundo minha análise. Vou ser mais expecífico. Esqueçam tudo que foi postado nesse tópico e enumerem o que se pode afirmar quando se diz que [tex3]AD , BE , CF[/tex3] são concorrentes no ponto [tex3]P.[/tex3]
Última edição: Alexandre_SC (Sáb 21 Jul, 2007 13:18). Total de 1 vez.
-
Auto Excluído (ID:276)
- Última visita: 31-12-69
Jul 2007
21
14:10
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
Não há incômodo nenhum. Vamos esperar análises de outras pessoas. Abraços.
-
italoemanuell 
- Mensagens: 202
- Registrado em: Ter 26 Jun, 2007 17:33
- Última visita: 29-12-11
Jul 2007
22
13:36
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
Vou dar umas dicas de resolução dela:
Alexandre_SC, esse seu desenho em nada facilita e sim dificulta, faça o seguite:
Coloque o ponto [tex3]P[/tex3] no interior do triângulo e depois calcule a medida dos segmentos [tex3]PF[/tex3] e [tex3]PC[/tex3] utilizando o seguinte teorema:
Sejam [tex3]D,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] pontos dos lados [tex3]BC,CA[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] desse triângulo de modo que os segmentos [tex3]AD,BE[/tex3] e [tex3]CF[/tex3] concorram no interior no ponto [tex3]P[/tex3] ao triângulo, então vale a igualdade:
E por fim utilize o teorema (Truque das áreas):
Dados três pontos colineares [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] e um ponto [tex3]P[/tex3] não colinear com os anteriores (note que o truque é válido independentemente da ordem dos pontos [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] sobre a reta suporte). Então, forma a igualdade:
Dica: os triângulos [tex3]APB[/tex3] e [tex3]BCP[/tex3] possuem uma altura em comum. E o resto é com vocês. Vale tudo, apliquem também Menelaus, Ceva acho que também facilita e principalmente o truque das áreas acima.
Espero ter ajudado.
Abraços.
Alexandre_SC, esse seu desenho em nada facilita e sim dificulta, faça o seguite:
Coloque o ponto [tex3]P[/tex3] no interior do triângulo e depois calcule a medida dos segmentos [tex3]PF[/tex3] e [tex3]PC[/tex3] utilizando o seguinte teorema:
Sejam [tex3]D,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] pontos dos lados [tex3]BC,CA[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] desse triângulo de modo que os segmentos [tex3]AD,BE[/tex3] e [tex3]CF[/tex3] concorram no interior no ponto [tex3]P[/tex3] ao triângulo, então vale a igualdade:
- [tex3]\frac{PD}{AD} + \frac{PE}{BE} + \frac{PF}{CF} =1.[/tex3]
E por fim utilize o teorema (Truque das áreas):
Dados três pontos colineares [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] e um ponto [tex3]P[/tex3] não colinear com os anteriores (note que o truque é válido independentemente da ordem dos pontos [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] sobre a reta suporte). Então, forma a igualdade:
- [tex3]\frac{[APB]}{[BPC]} = \frac{AB}{BC} .[/tex3]
Dica: os triângulos [tex3]APB[/tex3] e [tex3]BCP[/tex3] possuem uma altura em comum. E o resto é com vocês. Vale tudo, apliquem também Menelaus, Ceva acho que também facilita e principalmente o truque das áreas acima.
Espero ter ajudado.
Abraços.
Última edição: italoemanuell (Dom 22 Jul, 2007 13:36). Total de 1 vez.
-
Alexandre_SC
- Mensagens: 505
- Registrado em: Dom 06 Mai, 2007 21:13
- Última visita: 28-06-11
- Localização: Joinville - SC
Jul 2007
22
14:34
Re: Geometria Plana: Área de um Triângulo
- AA92.png (38.69 KiB) Exibido 2039 vezes
Mas o teorema não diz que os pontos [tex3]D, E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] pertencem aos lados!
Última edição: Alexandre_SC (Dom 22 Jul, 2007 14:34). Total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 5436 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 1 Respostas
- 1580 Exibições
-
Última msg por petras
-
- 1 Respostas
- 5144 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 4 Respostas
- 1608 Exibições
-
Última msg por florestinha89
-
- 1 Respostas
- 1782 Exibições
-
Última msg por AtomRafael
