Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Polônia 2011 — Aritmética
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Mar 2024
31
00:38
Polônia 2011 — Aritmética
Determine todos os inteiros não negativos [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
tais que [tex3]2^x+5^y[/tex3]
é um quadrado perfeito.
Editado pela última vez por Babi123 em 31 Mar 2024, 00:39, em um total de 1 vez.
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Mar 2024
31
06:21
Re: Polônia 2011 — Aritmética
Se [tex3]x[/tex3]
[tex3]n^2 = 2^{2k} + 5^y \implies (n - 2^{k})(n+2^k) = 5^y[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
n-2^{k}=5^a \\
n + 2^k=5^{y-a}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]2^{k+1} = 5^{y-a}-5^a[/tex3]
Se [tex3]a \neq 0[/tex3] , o lado direito é [tex3]0 \mod 5[/tex3] e o lado esquerdo com certeza não é zero [tex3]\mod 5[/tex3] .
Se [tex3]a = 0[/tex3] , [tex3]2^{k+1} = 5^y -1[/tex3] podemos ver que [tex3]y =1[/tex3] e [tex3]k=1[/tex3] é solução, porém para [tex3]y>1[/tex3] temos que se [tex3]y[/tex3] for par, o lado direito será divisível por [tex3]3[/tex3] e o esquerdo não. Se [tex3]y[/tex3] for ímpar teremos: [tex3]2^{k+1} = (5-1)(1+5+5^2+...+5^{y-1})[/tex3] e [tex3]1+5+...+5^{y-1}[/tex3] é a soma de um número ímpar de números ímpares, logo, é ímpar e tem fatores diferentes de [tex3]2[/tex3] . Então a única opção é [tex3]y=k=1 \implies n =3[/tex3] .
Para [tex3]x[/tex3] par, só temos a solução [tex3]9 = 4+5[/tex3]
vejamos o que acontece se [tex3]x=1[/tex3] :
[tex3]n^2 = 2 + 5^y[/tex3] , então [tex3]n^2 \equiv 3 \mod 4[/tex3] o que é absurdo.
Falta pensar num [tex3]x[/tex3] ímpar qualquer.
for par, [tex3]x = 2k[/tex3]
:[tex3]n^2 = 2^{2k} + 5^y \implies (n - 2^{k})(n+2^k) = 5^y[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
n-2^{k}=5^a \\
n + 2^k=5^{y-a}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]2^{k+1} = 5^{y-a}-5^a[/tex3]
Se [tex3]a \neq 0[/tex3] , o lado direito é [tex3]0 \mod 5[/tex3] e o lado esquerdo com certeza não é zero [tex3]\mod 5[/tex3] .
Se [tex3]a = 0[/tex3] , [tex3]2^{k+1} = 5^y -1[/tex3] podemos ver que [tex3]y =1[/tex3] e [tex3]k=1[/tex3] é solução, porém para [tex3]y>1[/tex3] temos que se [tex3]y[/tex3] for par, o lado direito será divisível por [tex3]3[/tex3] e o esquerdo não. Se [tex3]y[/tex3] for ímpar teremos: [tex3]2^{k+1} = (5-1)(1+5+5^2+...+5^{y-1})[/tex3] e [tex3]1+5+...+5^{y-1}[/tex3] é a soma de um número ímpar de números ímpares, logo, é ímpar e tem fatores diferentes de [tex3]2[/tex3] . Então a única opção é [tex3]y=k=1 \implies n =3[/tex3] .
Para [tex3]x[/tex3] par, só temos a solução [tex3]9 = 4+5[/tex3]
vejamos o que acontece se [tex3]x=1[/tex3] :
[tex3]n^2 = 2 + 5^y[/tex3] , então [tex3]n^2 \equiv 3 \mod 4[/tex3] o que é absurdo.
Falta pensar num [tex3]x[/tex3] ímpar qualquer.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 31 Mar 2024, 06:26, em um total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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