Olimpíadas

Mensagem não lida por **Babi123** » 31 Mar 2024, 00:38

Determine todos os inteiros não negativos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] tais que [tex3]2^x+5^y[/tex3] é um quadrado perfeito.

31 Mar 2024, 06:21

Se [tex3]x[/tex3] for par, [tex3]x = 2k[/tex3] :

[tex3]n^2 = 2^{2k} + 5^y \implies (n - 2^{k})(n+2^k) = 5^y[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
n-2^{k}=5^a \\
n + 2^k=5^{y-a}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]2^{k+1} = 5^{y-a}-5^a[/tex3]
Se [tex3]a \neq 0[/tex3] , o lado direito é [tex3]0 \mod 5[/tex3] e o lado esquerdo com certeza não é zero [tex3]\mod 5[/tex3] .
Se [tex3]a = 0[/tex3] , [tex3]2^{k+1} = 5^y -1[/tex3] podemos ver que [tex3]y =1[/tex3] e [tex3]k=1[/tex3] é solução, porém para [tex3]y>1[/tex3] temos que se [tex3]y[/tex3] for par, o lado direito será divisível por [tex3]3[/tex3] e o esquerdo não. Se [tex3]y[/tex3] for ímpar teremos: [tex3]2^{k+1} = (5-1)(1+5+5^2+...+5^{y-1})[/tex3] e [tex3]1+5+...+5^{y-1}[/tex3] é a soma de um número ímpar de números ímpares, logo, é ímpar e tem fatores diferentes de [tex3]2[/tex3] . Então a única opção é [tex3]y=k=1 \implies n =3[/tex3] .
Para [tex3]x[/tex3] par, só temos a solução [tex3]9 = 4+5[/tex3]

vejamos o que acontece se [tex3]x=1[/tex3] :

[tex3]n^2 = 2 + 5^y[/tex3] , então [tex3]n^2 \equiv 3 \mod 4[/tex3] o que é absurdo.

Falta pensar num [tex3]x[/tex3] ímpar qualquer.

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