Olimpíadas ⇒ Geometria Plana, Torneio das cidades 2009 Tópico resolvido

[SBAN]

Torneio das cidades 2009( Questão 118 do livro do rufino cap 1)

Uma reta paralela ao lado AC do triângulo ABC corta o lado AB em K e o lado BC em M. O é o ponto de interseção de AM e CK. Se AK=AO e KM=MC, prove que AM=KB

A questão não possui imagem.

Resposta

---

Demonstração, n existe gabarito

[petras]

SBAN,

[tex3] \angle MCK = \theta\implies \angle CKM = \theta \implies \angle KCA = \theta\\
\therefore \angle C = 2\theta \cong \angle BMK\\
\angle AKC \cong \angle AOK = \alpha\\
\angle KAO = 180^o -2\alpha \\
\angle KMA = 180^o - (180^o -2\alpha)- (\alpha+\theta) = \alpha -\theta \implies \angle CAM = \alpha - \theta\\
\angle B+2\theta = \alpha +\theta \implies B = \alpha - \theta\\
\therefore \triangle KBM \sim \triangle MAC (A.A):\\
\frac{BK}{AM} = \frac{KM}{CM} (KM=MC)\implies \frac{BK}{AM} = 1 \boxed{\therefore AM = BK c.q.d.}



[/tex3]

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[tex3] \angle MCK = \theta\implies \angle CKM = \theta \implies \angle KCA = \theta\\
\therefore \angle C = 2\theta \cong \angle BMK\\
\angle AKC \cong \angle AOK = \alpha\\
\angle KAO = 180^o -2\alpha \\
\angle KMA = 180^o - (180^o -2\alpha)- (\alpha+\theta) = \alpha -\theta \implies \angle CAM = \alpha - \theta\\
\angle B+2\theta = \alpha +\theta \implies B = \alpha - \theta\\
\therefore \triangle KBM \sim \triangle MAC (A.A):\\
\frac{BK}{AM} = \frac{KM}{CM} (KM=MC)\implies \frac{BK}{AM} = 1 \boxed{\therefore AM = BK c.q.d.}



[/tex3]

*Imagem fora de escala