(AIME)Encontre todos os reais a e b tais que X²-X-1 divide aX¹⁷+bX¹⁶+1
Como posso fazer essa questão?
Obs: não possuo gab, perdão.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ Polinômios Tópico resolvido
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Mar 2024
09
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Re: Polinômios
[tex3]x^2 - x - 1 \equiv 0 \mod (x^2-x-1) \implies x^2 \equiv x+1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
[tex3]x^3 \equiv x^2 + x \mod (x^2-x-1) \equiv 2x+1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
[tex3]x^4 \equiv 2x^2+x \equiv 3x+2 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
[tex3]x^{16} = (x^4)^4 \equiv (3x+2)^4 = 81x^4 +216x^3+216x^2+96x + 16 \equiv 81(3x+2)+216(2x+1)+216(x+1)+96x+16 \equiv[/tex3]
[tex3]\equiv x(243+432+216+96)+ (162+216+216+16) \equiv 987x +610 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
[tex3]x^{17} \equiv 987(x+1) + 610x \equiv 1597x + 987 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
pronto: [tex3]ax^{17}+bx^{16} +1 \equiv a(987x+610) + b(1597x+987) +1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
devemos ter: [tex3]987a + 1597b = 0[/tex3] e [tex3]610a+987b+1=0[/tex3] donde tiramos:
[tex3]a = -1597[/tex3] e [tex3]b = 987[/tex3] . Única solução.
[tex3]x^3 \equiv x^2 + x \mod (x^2-x-1) \equiv 2x+1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
[tex3]x^4 \equiv 2x^2+x \equiv 3x+2 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
[tex3]x^{16} = (x^4)^4 \equiv (3x+2)^4 = 81x^4 +216x^3+216x^2+96x + 16 \equiv 81(3x+2)+216(2x+1)+216(x+1)+96x+16 \equiv[/tex3]
[tex3]\equiv x(243+432+216+96)+ (162+216+216+16) \equiv 987x +610 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
[tex3]x^{17} \equiv 987(x+1) + 610x \equiv 1597x + 987 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
pronto: [tex3]ax^{17}+bx^{16} +1 \equiv a(987x+610) + b(1597x+987) +1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]
devemos ter: [tex3]987a + 1597b = 0[/tex3] e [tex3]610a+987b+1=0[/tex3] donde tiramos:
[tex3]a = -1597[/tex3] e [tex3]b = 987[/tex3] . Única solução.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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