Olimpíadas ⇒ Polinômios Tópico resolvido

[Caduzin3445]

(AIME)Encontre todos os reais a e b tais que X²-X-1 divide aX¹⁷+bX¹⁶+1




Como posso fazer essa questão?

Obs: não possuo gab, perdão.

[FelipeMartin]

[tex3]x^2 - x - 1 \equiv 0 \mod (x^2-x-1) \implies x^2 \equiv x+1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 - x - 1 \equiv 0 \mod (x^2-x-1) \implies x^2 \equiv x+1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

[tex3]x^3 \equiv x^2 + x \mod (x^2-x-1) \equiv 2x+1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3 \equiv x^2 + x \mod (x^2-x-1) \equiv 2x+1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

[tex3]x^4 \equiv 2x^2+x \equiv 3x+2 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4 \equiv 2x^2+x \equiv 3x+2 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

[tex3]x^{16} = (x^4)^4 \equiv (3x+2)^4 = 81x^4 +216x^3+216x^2+96x + 16 \equiv 81(3x+2)+216(2x+1)+216(x+1)+96x+16 \equiv[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{16} = (x^4)^4 \equiv (3x+2)^4 = 81x^4 +216x^3+216x^2+96x + 16 \equiv 81(3x+2)+216(2x+1)+216(x+1)+96x+16 \equiv[/tex3]

[tex3]\equiv x(243+432+216+96)+ (162+216+216+16) \equiv 987x +610 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\equiv x(243+432+216+96)+ (162+216+216+16) \equiv 987x +610 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

[tex3]x^{17} \equiv 987(x+1) + 610x \equiv 1597x + 987 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{17} \equiv 987(x+1) + 610x \equiv 1597x + 987 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

pronto: [tex3]ax^{17}+bx^{16} +1 \equiv a(987x+610) + b(1597x+987) +1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ax^{17}+bx^{16} +1 \equiv a(987x+610) + b(1597x+987) +1 \mod (x^2-x-1)[/tex3]

devemos ter: [tex3]987a + 1597b = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]987a + 1597b = 0[/tex3]

e [tex3]610a+987b+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]610a+987b+1=0[/tex3]

donde tiramos:

[tex3]a = -1597[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = -1597[/tex3]

e [tex3]b = 987[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b = 987[/tex3]

. Única solução.