Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero 🙏)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos 🥰

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

OlimpíadasIMO-79 (Fatoração) Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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EstudiosoEN
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IMO-79 (Fatoração)

Mensagem não lida por EstudiosoEN »

Os números reais não negativos [tex3]x_{1}[/tex3] , [tex3]x_{2}[/tex3] , [tex3]x_{3}[/tex3] , [tex3]x_{4}[/tex3] , [tex3]x_{5}[/tex3] e [tex3]\alpha [/tex3] satisfazem as seguintes relações:

[tex3]\begin{cases}
1.x_{1} + 2.x_{2} + 3.x_{3} + 4.x_{4} + 5.x_{5}=\alpha \\
1^{3}.x_{1} + 2^{3}.x_{2} + 3^{3}.x_{3} + 4^{3}.x_{4} + 5^{3}.x_{3}=\alpha ^{2} \\
1^{5}.x_{1} + 2^{5}.x_{2} + 3^{5}.x_{3} + 4^{5}.x_{4} + 5^{5}.x_{5}=\alpha ^{3}
\end{cases}[/tex3]
Resposta

Dica: Desenvolva a soma [tex3]\sum_{k=1}^{n}k(\alpha-k^{2})^{2}x_{k}[/tex3]

Gabarito: 0, 1, 4, 9, 16 ou 25

ᴀ ʟᴜᴀ ᴇsᴛᴀ́ ʟɪɴᴅᴀ ʜᴏᴊᴇ, ᴍᴀs ɴᴀ̃ᴏ ʜᴀ́ ᴇsᴛʀᴇʟᴀs ɴᴏ ᴄᴇ́ᴜ 🌕 - ʟᴀsᴇʀ sᴏ2

FelipeMartin
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Fev 2024 24 15:56

Re: IMO-79 (Fatoração)

Mensagem não lida por FelipeMartin »

A questão da IMO pede para encontrar os possíveis valores de [tex3]\alpha[/tex3] .
Multiplique a primeira equação por [tex3]\alpha^2[/tex3] , retire [tex3]2\alpha[/tex3] vezes a segunda e adicione a terceira equação. O lado direito será zero. O coeficiente de [tex3]x_n[/tex3] no lado esquerdo será: [tex3]\alpha^2 n - 2\alpha n^3 + n^5 = n(\alpha - n^2)^2[/tex3] . Eis como usamos a sua dica: a equação final será:

[tex3]\sum_{n=1}^5 n(\alpha-n^2)^2 x_n = 0[/tex3]

A soma de 5 números estritamente não negativos é igual a zero. Primeira solução: [tex3]x_n = 0[/tex3] e [tex3]\alpha = 0[/tex3] .
Podemos ter [tex3]x_n = 0[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] diferente da [tex3]\sqrt{\alpha}[/tex3] e [tex3]\alpha = n^2[/tex3] para algum [tex3]n \in \{1,2,3,4,5\}[/tex3] : [tex3]\alpha = 1,4,9,16[/tex3] ou [tex3]25[/tex3] e o [tex3]x_n = n[/tex3] .

Fora estes casos, o lado esquerdo será positivo e o lado direito será zero.

φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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