Olimpíadas

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Os números reais não negativos [tex3]x_{1}[/tex3] , [tex3]x_{2}[/tex3] , [tex3]x_{3}[/tex3] , [tex3]x_{4}[/tex3] , [tex3]x_{5}[/tex3] e [tex3]\alpha [/tex3] satisfazem as seguintes relações:

[tex3]\begin{cases}
1.x_{1} + 2.x_{2} + 3.x_{3} + 4.x_{4} + 5.x_{5}=\alpha \\
1^{3}.x_{1} + 2^{3}.x_{2} + 3^{3}.x_{3} + 4^{3}.x_{4} + 5^{3}.x_{3}=\alpha ^{2} \\
1^{5}.x_{1} + 2^{5}.x_{2} + 3^{5}.x_{3} + 4^{5}.x_{4} + 5^{5}.x_{5}=\alpha ^{3}
\end{cases}[/tex3]

Resposta

Dica: Desenvolva a soma [tex3]\sum_{k=1}^{n}k(\alpha-k^{2})^{2}x_{k}[/tex3]

Gabarito: 0, 1, 4, 9, 16 ou 25

A questão da IMO pede para encontrar os possíveis valores de [tex3]\alpha[/tex3] .
Multiplique a primeira equação por [tex3]\alpha^2[/tex3] , retire [tex3]2\alpha[/tex3] vezes a segunda e adicione a terceira equação. O lado direito será zero. O coeficiente de [tex3]x_n[/tex3] no lado esquerdo será: [tex3]\alpha^2 n - 2\alpha n^3 + n^5 = n(\alpha - n^2)^2[/tex3] . Eis como usamos a sua dica: a equação final será:

[tex3]\sum_{n=1}^5 n(\alpha-n^2)^2 x_n = 0[/tex3]

A soma de 5 números estritamente não negativos é igual a zero. Primeira solução: [tex3]x_n = 0[/tex3] e [tex3]\alpha = 0[/tex3] .
Podemos ter [tex3]x_n = 0[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] diferente da [tex3]\sqrt{\alpha}[/tex3] e [tex3]\alpha = n^2[/tex3] para algum [tex3]n \in \{1,2,3,4,5\}[/tex3] : [tex3]\alpha = 1,4,9,16[/tex3] ou [tex3]25[/tex3] e o [tex3]x_n = n[/tex3] .

Fora estes casos, o lado esquerdo será positivo e o lado direito será zero.

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