OlimpíadasCanguru 2009

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Canguru 2009

Mensagem não lida por Fisica12 » Sáb 09 Mai, 2009 13:45

Um canguru está na origem do sistema cartesiano ortogonal. Ele pode saltar uma unidade verticalmente ou horizontalmente. Quantos pontos distintos do plano o canguru pode atingir após 10 saltos?
Resposta

121

Última edição: Fisica12 (Sáb 09 Mai, 2009 13:45). Total de 1 vez.



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Mai 2009 09 14:23

Re: Canguru 2009

Mensagem não lida por triplebig » Sáb 09 Mai, 2009 14:23

Dividindo o plano cartesiano em ponto de coordenadas P(a,b) , tal que a\text{ e }b são números inteiros. Temos os seguintes casos:

|a|+|b|=10\;\Right\;\text{ 40 possibilidades}

|a|+|b|=8\;\Right\;\text{ 32 possibilidades}

|a|+|b|=6\;\Right\;\text{ 24 possibilidades}

|a|+|b|=4\;\Right\;\text{ 16 possibilidades}

|a|+|b|=2\;\Right\;\text{ 8 possibilidades}

|a|+|b|=0\;\Right\;\text{ 1 possibilidade}

Soma total: 121 possibilidades.

Última edição: triplebig (Sáb 09 Mai, 2009 14:23). Total de 2 vezes.



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Re: Canguru 2009

Mensagem não lida por Fisica12 » Sáb 09 Mai, 2009 18:04

Me desculpe mas não entendi, eu imagino |a| + |b|= 2 sendo P(2,0) e P(1,1) sendo 4 quadrantes dá 8 possibilidades, mas e os números ímpares ?
Última edição: Fisica12 (Sáb 09 Mai, 2009 18:04). Total de 1 vez.



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triplebig
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Mai 2009 09 19:00

Re: Canguru 2009

Mensagem não lida por triplebig » Sáb 09 Mai, 2009 19:00

E se ele for em linha reta? Os pontos possíveis sem voltar são: (10;0),(9;1),(8;2),....(0:10),(-1;9),(-2;8).....(-10;0),(9;-1),(8;-2)......(-8;-2),(-9;-1)

Os pontos possíveis voltando uma vez: (8;0),(7;1)... e assim por diante

É trivial perceber que não é possível a soma dos módulos serem ímpares, uma simples analise de paridade mostra isso. Se quiser uma demonstração formal me fale, mas em princípio suponha que são duas puladas e tente chegar no ponto (1;0) . Agora suponha 4 pulos.

E outro detalhe é que como estamos falando de distância, temos |a|+|b|=2 como P(2;0),P(1;1),P(0;2),P(-1;1),P(-2;0),P(-1;-1),P(1;-2),P(0;-2)

Eu usei módulo justamente para não me preocupar com os quadrantes.
Última edição: triplebig (Sáb 09 Mai, 2009 19:00). Total de 1 vez.



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Re: Canguru 2009

Mensagem não lida por Fisica12 » Sáb 09 Mai, 2009 19:19

Certo, consegui perceber. Quanto a demonstração eu tenho dúvidas de como eu posso montar ela, se você puder fazer, agradeço.




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