Olimpíadas ⇒ Olimpiada Portuguesa 2010 (OPM) Geometria Plana Tópico resolvido

[SBAN]

(Olimpíada Portugesa-2010) Mostre que qualquer triângulo tem dois lados a e b tais que

[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{2}<\frac{A}{B}<\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{5}-1}{2}<\frac{A}{B}<\frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]

Resposta

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Demonstração

[FelipeMartin]

lei dos senos:

[tex3]\frac{A}{B} = \frac{\sen (A)}{\sen (B)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{A}{B} = \frac{\sen (A)}{\sen (B)}[/tex3]

acho que basta usar que a soma dos senos de um triângulo é máxima quando o triângulo é equilátero:

[tex3]\sen (A) + \sen (B) + \sen (180^{\circ} -A-B) \leq 3 \frac{\sqrt3}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen (A) + \sen (B) + \sen (180^{\circ} -A-B) \leq 3 \frac{\sqrt3}2[/tex3]

[petras]

SBAN,

Segue solução por:(Carlos A. Gomes)