Quarenta estudantes participaram de uma olimp´ıada de matem´atica. A
prova consistia de cinco problemas ao todo. Sabe-se que cada problema foi resolvido corretamente
por pelo menos 23 participantes. Prove que deve existir dois participantes tais
que todo problema foi resolvido por pelo menos um deles dois.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Olimpíadas ⇒ POTI Combinatória
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renatinho14
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Fev 2024
20
12:53
Re: POTI Combinatória
Há estudantes com 3 ou mais problemas resolvidos
Suponha por absurdo que ninguém escreveu mais de 2 soluções na prova, logo há [tex3]40\cdot 2=80[/tex3] ou menos problemas resolvidos corretamente na Olimpíada.
Como cada problemas foi resolvido por pelo menos [tex3]23[/tex3] participantes, então há [tex3]23\cdot 5=105[/tex3] ou mais soluções corretas na prova, o que contradiz nossa hipótese.
Escolhendo [tex3]2[/tex3] estudantes que satisfaçam o enunciado
Suponha que exista um estudante [tex3]A[/tex3] que fez [tex3]3[/tex3] problemas. Um dos problemas que ele não fez foram solucionados ao menos [tex3]23+23=46[/tex3] vezes. Como há apenas [tex3]40[/tex3] alunos, existe um estudante [tex3]B[/tex3] que fez ambos.
Então cada problema foi resolvido por [tex3]A[/tex3] ou [tex3]B[/tex3] .
Os casos em que existe um estudante fez [tex3]4[/tex3] ou [tex3]5[/tex3] problemas são triviais.
Suponha por absurdo que ninguém escreveu mais de 2 soluções na prova, logo há [tex3]40\cdot 2=80[/tex3] ou menos problemas resolvidos corretamente na Olimpíada.
Como cada problemas foi resolvido por pelo menos [tex3]23[/tex3] participantes, então há [tex3]23\cdot 5=105[/tex3] ou mais soluções corretas na prova, o que contradiz nossa hipótese.
Escolhendo [tex3]2[/tex3] estudantes que satisfaçam o enunciado
Suponha que exista um estudante [tex3]A[/tex3] que fez [tex3]3[/tex3] problemas. Um dos problemas que ele não fez foram solucionados ao menos [tex3]23+23=46[/tex3] vezes. Como há apenas [tex3]40[/tex3] alunos, existe um estudante [tex3]B[/tex3] que fez ambos.
Então cada problema foi resolvido por [tex3]A[/tex3] ou [tex3]B[/tex3] .
Os casos em que existe um estudante fez [tex3]4[/tex3] ou [tex3]5[/tex3] problemas são triviais.
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