Olimpíadas ⇒ POTI Combinatória

[renatinho14]

Quarenta estudantes participaram de uma olimp´ıada de matem´atica. A
prova consistia de cinco problemas ao todo. Sabe-se que cada problema foi resolvido corretamente
por pelo menos 23 participantes. Prove que deve existir dois participantes tais
que todo problema foi resolvido por pelo menos um deles dois.

[Kakashi]

Há estudantes com 3 ou mais problemas resolvidos

Suponha por absurdo que ninguém escreveu mais de 2 soluções na prova, logo há [tex3]40\cdot 2=80[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]40\cdot 2=80[/tex3]

ou menos problemas resolvidos corretamente na Olimpíada.

Como cada problemas foi resolvido por pelo menos [tex3]23[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]23[/tex3]

participantes, então há [tex3]23\cdot 5=105[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]23\cdot 5=105[/tex3]

ou mais soluções corretas na prova, o que contradiz nossa hipótese.

Escolhendo [tex3]2[/tex3] estudantes que satisfaçam o enunciado

Suponha que exista um estudante [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

que fez [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

problemas. Um dos problemas que ele não fez foram solucionados ao menos [tex3]23+23=46[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]23+23=46[/tex3]

vezes. Como há apenas [tex3]40[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]40[/tex3]

alunos, existe um estudante [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

que fez ambos.

Então cada problema foi resolvido por [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

ou [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

.

Os casos em que existe um estudante fez [tex3]4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4[/tex3]

ou [tex3]5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5[/tex3]

problemas são triviais.