Quantos são os números naturais n tais que (5n-12)÷(n-8)
é também um número natural?
Podem responder com soluções diferentes das do site da obmep
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ OBMEP
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παθμ
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Jan 2024
18
14:49
Re: OBMEP
Stanbech,
[tex3]\frac{5n-12}{n-8}=k \iff 5n-12=nk-8k \iff 5n+8k-nk=12.[/tex3]
Veja, além disso, que [tex3](n-8)(k-5)=nk-5n-8k+40 \iff -nk+5n+8k=40-(n-8)(k-5),[/tex3] e inserindo isso na nossa equação:
[tex3]40-(n-8)(k-5)=12 \iff (n-8)(k-5)=28.[/tex3]
Temos [tex3]28=2^2 \cdot 7.[/tex3] Os seis pares de números inteiros que multiplicados dão 28 são:
1, 28 ; -1, -28
2, 14 ; -2, -14
4, 7 ; -4, -7
Como [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] são inteiros, o par [tex3](n-8, \; \; k-5)[/tex3] precisa ser um dos seis pares acima. Mas ainda há a restrição de que [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] têm de ser naturais, ou seja, inteiros não-negativos.
Daí, é fácil verificar que os pares (-1, -28) e (-2, -14) têm de ser eliminados.
Contabilizando os três pares (1, 28), (2, 14), (4, 7) há no total 6 valores possíveis para [tex3]n[/tex3] (pois, para cada par, escolhemos qual número seria o n-8 e qual seria o k-5, ou seja, há 2 soluções distintas por par).
Já para o par (-4, -7), só há uma solução, que é [tex3]k-5=-4[/tex3] e [tex3]n-8=-7[/tex3] (pois se k-5=-8 teríamos [tex3]k[/tex3] negativo).
Daí a resposta do problema é [tex3]6+1=\boxed{7}[/tex3]
[tex3]\frac{5n-12}{n-8}=k \iff 5n-12=nk-8k \iff 5n+8k-nk=12.[/tex3]
Veja, além disso, que [tex3](n-8)(k-5)=nk-5n-8k+40 \iff -nk+5n+8k=40-(n-8)(k-5),[/tex3] e inserindo isso na nossa equação:
[tex3]40-(n-8)(k-5)=12 \iff (n-8)(k-5)=28.[/tex3]
Temos [tex3]28=2^2 \cdot 7.[/tex3] Os seis pares de números inteiros que multiplicados dão 28 são:
1, 28 ; -1, -28
2, 14 ; -2, -14
4, 7 ; -4, -7
Como [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] são inteiros, o par [tex3](n-8, \; \; k-5)[/tex3] precisa ser um dos seis pares acima. Mas ainda há a restrição de que [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] têm de ser naturais, ou seja, inteiros não-negativos.
Daí, é fácil verificar que os pares (-1, -28) e (-2, -14) têm de ser eliminados.
Contabilizando os três pares (1, 28), (2, 14), (4, 7) há no total 6 valores possíveis para [tex3]n[/tex3] (pois, para cada par, escolhemos qual número seria o n-8 e qual seria o k-5, ou seja, há 2 soluções distintas por par).
Já para o par (-4, -7), só há uma solução, que é [tex3]k-5=-4[/tex3] e [tex3]n-8=-7[/tex3] (pois se k-5=-8 teríamos [tex3]k[/tex3] negativo).
Daí a resposta do problema é [tex3]6+1=\boxed{7}[/tex3]
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